Sea $ACE$ un triángulo con $\angle ECA=60^{\circ}, \angle AEC=90^{\circ}$. Sean $B$ y $D$ puntos sobre los lados $AC$ y $CE$ respectivamente tales que el $\triangle BCD$ es equilátero. Ahora supón que $BD \cap AE=F$. Encuentra $\angle EAC+\angle EFD$.

Fernando tiene seis monedas, una de las cuales es falsa. No sabemos cuál es el peso de una moneda falsa ni el peso de una moneda real, solo sabemos que las monedas reales pesan todas lo mismo y que el peso de la moneda falsa es diferente. Usando una balanza de dos platillos, demuestra que es posible descubrir la moneda falsa con solo $3$ pesadas.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles con $\angle BCA=90^{\circ}, BC=AC=10$. Sea $P$ un punto sobre $AB$ que está a una distancia $x$ de $A$, $Q$ un punto sobre $AC$ tal que $PQ$ es paralelo a $BC$. Sean $R$ y $S$ puntos sobre $BC$ tales que $QR$ es paralelo a $AB$ y $PS$ es paralelo a $AC$. La unión de los cuadriláteros $PBRQ$ y $PSCQ$ determina un área sombreada $f(x)$. Evalúa $f(2)$.

1a Peer y Solveig están jugando un juego con \( n \) monedas, todas las cuales muestran \( M \) en un lado y \( K \) en el lado opuesto. Las monedas están colocadas en una fila sobre la mesa. Peer y Solveig se turnan para jugar. En su turno, Peer puede voltear una o más monedas, siempre que no voltee dos monedas adyacentes. En su turno, Solveig elige exactamente dos monedas adyacentes y las voltea. Cuando comienza el juego, todas las monedas muestran \( M \). Peer juega primero, y gana si en algún momento todas las monedas muestran \( K \) simultáneamente. Encuentra todos los \( n\geqslant 2 \) para los cuales Solveig puede evitar que Peer gane.

2a Un profesor pide a cada uno de once alumnos que escriba un número entero positivo de a lo más cuatro dígitos, cada uno en una nota adhesiva amarilla separada. Demuestra que si todos los números son diferentes, el profesor siempre puede seleccionar dos o más de las once notas de modo que el promedio de los números en las notas seleccionadas no sea un entero.

3a Sea \(ABC\) un triángulo. Sean \(E,F\) los pies de las alturas desde \(B,C\) respectivamente. Sean \(P,Q\) las proyecciones de \(B,C\) sobre la recta \(EF\). Demuestra que \(PE=QF\).

3b Un triángulo acutángulo \(ABC\) tiene circuncentro \(O\). Las rectas \(AO\) y \(BC\) se intersectan en \(D\), mientras que \(BO\) y \(AC\) se intersectan en \(E\), y \(CO\) y \(AB\) se intersectan en \(F\). Muestra que si los triángulos \(ABC\) y \(DEF\) son semejantes (con los vértices en ese orden), entonces \(ABC\) es equilátero.

Encuentra todos los pares de enteros positivos $x,y$ tales que $\frac{4}{x}+\frac{2}{y}=1$.

Demuestra que si $a+b+c=0$ entonces $a^3+b^3+c^3=3abc$.

9.3 En un país hay pueblos, algunos de los cuales están conectados por carreteras. Existe una ruta (no necesariamente directa) entre cada dos pueblos. El Ministro de Educación ha garantizado que todo pueblo sin escuela esté conectado mediante una carretera directa a un pueblo que tenga escuela. El Ministro de Optimización Estatal quiere asegurar que haya un camino único entre cualesquiera dos pueblos (sin repetir tramos recorridos), lo que puede requerir eliminar algunas carreteras. ¿Es siempre posible lograrlo sin construir escuelas adicionales y preservando lo que el Ministro de Educación ha logrado?