3 Halle todos los números enteros no negativos tales que $7^x- 2 \cdot 5^y = -1$

2 Sea $f$ una función de R en R. Supongamos que: (1) $f(0)=0$ (2) Para todo $x, y \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ , se tiene que $f(\frac{1}{x})+f(\frac{1}{y})=f(\frac{x+y}{1+xy})$ . (3) Si $x \in (-1,0)$ , entonces $f(x) > 0$ . Demuestre: $\sum_{n=1}^{+\infty} f(\frac{1}{n^2+7n+11}) > f(\frac12)$ con $n \in N^+$ .

3 Llamamos a una matriz $\textsl{binary matrix}$ si todas sus entradas son iguales a $0$ o $1$ . Una matriz binaria es $\textsl{Good}$ si satisface simultáneamente las siguientes dos condiciones: (1) Todas las entradas por encima de la diagonal principal (de izquierda a derecha), sin incluir la diagonal principal, son iguales. (2) Todas las entradas por debajo de la diagonal principal (de izquierda a derecha), sin incluir la diagonal principal, son iguales. Dado un entero positivo $m$ , demuestre que existe un entero positivo $M$ tal que para cualquier entero positivo $n>M$ y una matriz binaria $n \times n$ dada $A_n$ , podemos seleccionar enteros $1 \leq i_1 <i_2< \cdots < i_{n-m} \leq n$ y eliminar las filas $i_i$ - ésima, $i_2$ - ésima , $\cdots$ , $i_{n-m}$ - ésima y las columnas $i_i$ - ésima, $i_2$ - ésima , $\cdots$ , $i_{n-m}$ - ésima de $A_n$ , entonces la matriz binaria resultante $B_m$ es $\textsl{Good}$ .

Un tablero $2N\times2N$ está cubierto por dominós no superpuestos de tamaño $1\times2$ . Una torre coja (que solo puede moverse una casilla a la vez, horizontal o verticalmente) ha visitado cada casilla una vez en su recorrido por el tablero. Llámese longitudinal a un movimiento de la torre si es un movimiento de una casilla de un dominó a otra casilla del mismo dominó. ¿Cuál es: el número máximo posible de movimientos longitudinales? ¿el número mínimo posible de movimientos longitudinales?

3 Sean $D$ y $E$ los pies de las alturas trazadas desde $A$ y $B$ del triángulo $ABC$ , sea $F$ el punto de intersección de la bisectriz trazada desde $C$ con el lado $AB$ , y sean $O$ , $I$ y $H$ el circuncentro, el centro de la circunferencia inscrita y el ortocentro del triángulo $ABC$ , respectivamente. Si $\frac{CF}{AD}+ \frac{CF}{BE}=2$ , demuestre que $OI = IH$ .

1 ¿Existe un número natural $N$ que sea una potencia de $2$ , tal que se puedan permutar sus dígitos decimales para obtener una potencia de $2$ diferente? Amir.S

2014 g6 Sobre los tres lados de un triángulo $\vartriangle ABC$ se construyen cuadrados hacia el exterior del triángulo con longitudes $AB$ , $BC$ y $CA$ respectivamente. Sean $A’$ , $B’$ y $C’.$ los centros de los cuadrados construidos sobre $BC$ , $CA$ y $BA$ respectivamente. Demuestre que $AA’= B’C ‘$ y $AA’ \perp B’C’$ .

3 Para cada $m\in \mathbb N$ definimos $rad\ (m)=\prod p_i$ , donde $m=\prod p_i^{\alpha_i}$ . Conjetura abc: suponga que $\epsilon >0$ es un número arbitrario; entonces existe $K$ que depende de $\epsilon$ tal que para cualesquiera 3 números $a,b,c\in\mathbb Z$ con $gcd (a,b)=1$ y $a+b=c$ se tiene: \[ max\{|a|,|b|,|c|\}\leq K(rad\ (abc))^{1+\epsilon} \] Ahora demuestre cada una de las siguientes afirmaciones usando la conjetura $abc$ : a) El último teorema de Fermat para $n>N$ , donde $N$ es algún número natural. b) Llamamos a $n=\prod p_i^{\alpha_i}$ fuerte si y solo si $\alpha_i\geq 2$ . c) Demuestre que hay finitamente muchos $n$ tales que $n,\ n+1,\ n+2$ son fuertes. d) Demuestre que hay finitamente muchos números racionales $\frac pq$ tales que: \[ \Big| \sqrt[3]{2}-\frac pq \Big|<\frac{2^ {1384}}{q^3} \] Omid

4 Suponga que tenemos algunas proteínas, y que cada proteína es una secuencia de 7 "AMINO-ACIDS" $A,\ B,\ C,\ H,\ F,\ N$ . Por ejemplo, $AFHNNNHAFFC$ es una proteína. Hay algunos pasos en los que, en cada paso, un aminoácido cambiará a otro. Por ejemplo, con el paso $NA\rightarrow N$ la proteína $BANANA$ cambiará a $BANNA$ ( "en persa significa obrero"). Tenemos un conjunto de pasos permitidos con los cuales cada proteína puede cambiar. Por ejemplo, con el conjunto de pasos: $\\ 1)\ AA\longrightarrow A\\ 2)\ AB\longrightarrow BA\\ 3)\ A\longrightarrow \mbox{null}$ La proteína $ABBAABA$ cambiará así: $\\ ABB\underline{AA}BA\\ \underline{AB}BABA\\ B\underline{AB}ABA\\ BB\underline{AA}BA\\ BB\underline{AB}A\\ BBB\underline{AA}\\ BBB\underline{A}\\ BBB$ Se ve que después de un número finito de pasos esta proteína terminará sus pasos. Un conjunto de pasos permitidos para el cual existe una proteína que puede tener infinitamente muchos pasos es peligroso. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos permitidos son peligrosos? a) $NO\longrightarrow OONN$ b) $\left\{\begin{array}{c}HHCC\longrightarrow HCCH\\ CC\longrightarrow CH\end{array}\right.$ c) Diseñe un conjunto de pasos permitidos que cambie $\underbrace{AA\dots A}_{n}\longrightarrow\underbrace{BB\dots B}_{2^{n}}$ d) Diseñe un conjunto de pasos permitidos que cambie $\underbrace{A\dots A}_{n}\underbrace{B\dots B}_{m}\longrightarrow\underbrace{CC\dots C}_{mn}$ Se ve de $c$ y $d$ que podemos calcular las funciones $F(n)=2^{n}$ y $G(M,N)=mn$ con estos pasos. Encuentre otras funciones calculables con estos pasos. (Tiene una calificación adicional.) Omid

3 En una baraja de $n > 1$ cartas, en cada carta están escritos algunos dígitos del $1$ al $8$ . Un dígito puede aparecer más de una vez, pero a lo sumo una vez en una carta determinada. En cada carta está escrito al menos un dígito, y no hay dos cartas denotadas por el mismo conjunto de dígitos. Suponga que para cada $k=1,2,\dots,7$ dígitos, el número de cartas que contienen al menos uno de ellos es par. Halle $n$ . Amir.S