2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo . Una circunferencia $\omega_1(O_1,R_1)$ pasa por los puntos $B$ y $C$ y corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente . Sea $\omega_2(O_2,R_2)$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ADE$ . Demuestre que $O_1O_2$ es igual al circunradio del triángulo $ABC$ .

1 Para subconjuntos no vacíos $A,B \subset \mathbb{Z}$ defina \[A+B=\{a+b:a\in A, b\in B\},\ A-B=\{a-b:a\in A, b\in B\}.\] En lo que sigue trabajamos con subconjuntos finitos no vacíos de $\mathbb{Z}$ . Demuestre que podemos cubrir $B$ con a lo sumo $\frac{|A+B|}{|A|}$ traslaciones de $A-A$ , es decir, existe $X\subset Z$ con $|X|\leq \frac{|A+B|}{|A|}$ tal que \[B\subseteq \cup_{x\in X} (x+(A-A))=X+A-A.\]

4 Sean $AL$ y $BK$ bisectrices de ángulos en el triángulo no isósceles $ABC$ ( $L$ está sobre el lado $BC$ , $K$ está sobre el lado $AC$ ) . La mediatriz de $BK$ interseca a la recta $AL$ en el punto $M$ . El punto $N$ está sobre la recta $BK$ tal que $LN$ es paralelo a $MK$ . Demuestre que $LN = NA$ .

2 Considere una matriz cuyas entradas son números enteros. Sumar un mismo entero a todas las entradas de una misma fila, o de una misma columna, se denomina una operación. Se da que, para infinitos enteros positivos $n$ , se puede obtener, mediante un número finito de operaciones, una matriz cuyas entradas sean todas divisibles por $n$ . Demuestre que, mediante un número finito de operaciones, se puede obtener la matriz nula.

3 Algunas $n>2$ lámparas están conectadas cíclicamente: la lámpara $1$ con la lámpara $2$ , ..., la lámpara $k$ con la lámpara $k+1$ , ..., la lámpara $n-1$ con la lámpara $n$ , la lámpara $n$ con la lámpara $1$ . Al principio todas las lámparas están apagadas. Cuando se pulsa el interruptor de una lámpara, esa lámpara y las dos conectadas a ella cambian de estado (de apagado a encendido, o viceversa). Determine el número de configuraciones de lámparas alcanzables desde la inicial, pulsando algún conjunto de interruptores.

1 Llamamos regla de Golomb a una regla de longitud $l$ , que lleva $k+1\geq 2$ marcas $0<a_1<\ldots <a_{k-1}<l$ , tales que las longitudes que pueden medirse usando las marcas de la regla son enteros consecutivos que comienzan en $1$ , y cada una de tales longitudes puede medirse entre exactamente dos de las graduaciones de la regla. Halle todas las reglas de Golomb.

2 Un cuadrado de lado $N=n^2+1$ , $n\in \mathbb{N}^*$ , está particionado en cuadrados unitarios (de lado $1$ ) , a lo largo de $N$ filas y $N$ columnas. Los $N^2$ cuadrados unitarios se colorean usando $N$ colores, $N$ cuadrados con cada color. Demuestre que para cualquier coloración existe una fila o una columna que contiene cuadrados unitarios de al menos $n+1$ colores.

3 Demuestre que el pentágono $ ABCDE$ es cíclico si y solo si \[\mathrm{d(}E,AB\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,CD\mathrm{)} = \mathrm{d(}E,AC\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,BD\mathrm{)} = \mathrm{d(}E,AD\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,BC\mathrm{)}\] donde $ \mathrm{d(}X,YZ\mathrm{)}$ denota la distancia del punto $ X$ a la recta $ YZ$ .

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito tal que $AD>\max\{AB,BC,CD\}$ , sea $M$ el punto común de $AB$ y $CD$ y sea $N$ el punto común de $AC$ y $BD$ . Demuestre que \[90^{\circ}<m(\angle AND)<90^{\circ}+\frac{1}{2}m(\angle AMD).\] Corregido, gracias Luis.

6 Tenemos un cuadrado de lado $1$ y un número $\ell$ tal que $0 <\ell <\sqrt2$ . Dos jugadores $A$ y $B$ , por turnos, dibujan en el cuadrado un segmento abierto (sin sus dos extremos) de longitud $\ell $ ; comienza A. Cada segmento posterior al primero no puede tener puntos en común con los segmentos ya dibujados. Pierde el jugador que no pueda realizar su jugada. Determine si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora.