Encuentra el valor de $$(2^{40}+12^{41}+23^{42}+67^{43}+87^{44})^{45!+46}\mod11$$ (variación pero misma respuesta) Respuesta 3

Sea $ABC$ un triángulo, y sea $O$ su circuncentro. Sea $\overline{CO}\cap AB\equiv D$. Sean $\angle BAC=\alpha$ y $\angle CBA=\beta$. Demuestra que $$\dfrac{OD}{OC}=\Bigg|\dfrac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}\Bigg|$$ Para aclarar, $\overline{CO}$ representa la recta $CO$, y $AC$ representa el segmento $AC$. Los casos en los que $D$ no existe deben ignorarse.

En una isla con forma de polígono regular de $n$ lados, hay aeropuertos en cada vértice de la isla. La isla quiere añadir $k$ aeropuertos nuevos en el interior de la isla, pero debe seguir las siguientes reglas: $1$ . Debe estar en el interior de la isla (ninguno en los bordes). $2$ . No puede haber dos aeropuertos en exactamente la misma ubicación. $3$ . Cada terna de $1$ aeropuerto nuevo y $2$ aeropuertos viejos debe formar un triángulo isósceles. $4$ . No puede haber tres aeropuertos colineales. Encuentra el valor máximo de $k$ para cada $n$. Versión más difícil: Reemplaza $1$ nuevo y $2$ viejos por $1$ viejo y $2$ nuevos.

1 Piotrek está jugando con piedritas. Empieza con una pila vacía. En el movimiento $i$-ésimo, Piotrek quita $i$ piedritas de la pila si puede. Si no puede, agrega $i$ piedritas a la pila. Por ejemplo, después de los primeros $5$ movimientos, Piotrek tiene $1, 3, 0, 4, 9$ piedritas respectivamente. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que Piotrek tiene $0$ piedritas después de $n$ movimientos.

Los números reales $a, b, c, x, y, z$ satisfacen $$\begin{aligned} \begin{cases} a^2+2bc=x^2+2yz,\\ b^2+2ca=y^2+2zx,\\ c^2+2ab=z^2+2xy.\\ \end{cases} \end{aligned}$$ Demuestra que $a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2$ .

6 Se da una sucesión de $2025$ números reales con suma $0$. Modificaremos la sucesión usando el siguiente procedimiento: Sea $A$ el número de términos positivos en esta sucesión, $B$ el número de términos negativos en esta sucesión y sea $S$ la suma de los términos positivos. De cada término positivo restamos $\frac{S}{A}$ y a cada término negativo sumamos $\frac{S}{B}$. Supón que después de cada aplicación de este procedimiento, al menos un término de la sucesión es distinto de cero. Demuestra que después de un número finito de tales procedimientos, los valores absolutos de todos los términos serán menores que $\frac{1}{2025}$.

7 Sea $AD$ una altura en un triángulo acutángulo $ABC$. Los puntos $E, F$ son las proyecciones de $D$ sobre las rectas $AB$ y $AC$, respectivamente. Los puntos $K, L, M$ son los puntos medios de $BD, BC, DC$, respectivamente. Demuestra que las rectas $EK, AL, FM$ son concurrentes.

Se da un entero positivo $n$. Llamaremos permutación a toda función inyectiva $f:\{1, \dots, n\}\rightarrow\{1, \dots, n\}$. Se dan permutaciones $f_1, \dots, f_N$ distintas por pares. Supón que para todo par de índices (no necesariamente distintos) $i, j$, existe $k$ tal que $f_i\circ f_j=f_k$. Para $1\leq i<j\leq n$ sea $Z(i, j)$ el número de índices $l$ tales que $f_l(i)>f_l(j)$. Demuestra que $$\frac{N}{2}\cdot \sum_{1\leq i<j\leq n}Z(i, j)=\sum_{1\leq i<j\leq n}Z(i, j)^2.$$

9 Se da una sucesión $a_1, a_2, \dots$ de enteros positivos. Supón que $\gcd(a_2-a_1, a_3-a_2, \dots)=1$. Demuestra que existe un entero positivo $N$ tal que la suma de algunos $N$ elementos (no necesariamente distintos) de la sucesión es igual a la suma de algunos $N+1$ elementos (no necesariamente distintos) de la sucesión.

2 Define la sucesión $\{a_n\}$ de la siguiente manera: $a_1=1$, $a_2=3$, $a_{n+2}=2a_{n+1}a_{n}+1$; para todo $n\geq1$. Demuestra que la mayor potencia de $2$ que divide a $a_{4006}-a_{4005}$ es $2^{2003}$.