7 Demuestre que para cualesquiera $a>0,b>0,c>0$ se tiene $8a^2 b^2 c^2 \geq (a^2 + ab + ac - bc)(b^2 + ba + bc - ac)(c^2 + ca + cb - ab)$ .

8 Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo. Las mediatrices de sus lados $ AB$ y $ CD$ se cortan en $ Y$ . Denote por $ X$ un punto interior del cuadrilátero $ ABCD$ tal que $ \measuredangle ADX = \measuredangle BCX < 90^{\circ}$ y $ \measuredangle DAX = \measuredangle CBX < 90^{\circ}$ . Demuestre que $ \measuredangle AYB = 2\cdot\measuredangle ADX$ .

1 Halle todos los números reales $x, y, z, t$ tales que las siguientes condiciones se cumplen simultáneamente: (a) $x+y+z=1.5$ ; (b) $\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\geqslant2+3^{\sqrt{t-2}}$ .

3 En un triángulo $ABC$ tenemos $\angle C>10^0$ y $\angle B=\angle C+10^0.$ Consideramos el punto $E$ en el lado $AB$ tal que $\angle ACE=10^0,$ y el punto $D$ en el lado $AC$ tal que $\angle DBA=15^0.$ Sea $Z\neq A$ un punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $AEC.$ Demuestre que $\angle ZBA>\angle ZCA.$

4 Halle todos los conjuntos de números reales que satisfacen la condición de que junto con cada número $x$ , el conjunto también contiene el número $3|x|-4x^{2}-1$ .

1 Determine todos los pares de números reales $(x,y)$ que satisfacen \begin{align*} x^3+9x^2y&=10,\\ y^3+xy^2 &=2. \end{align*}

6 Sean $p_1,p_2,\ldots,p_n$ primos distintos mayores que $3$ . Demuestre que $2^{p_1p_2\cdots p_n}+1$ tiene al menos $4^n$ divisores.

8 Sean $a, b, c$ números reales tales que los números $\frac{1+bc}{b-c}, \frac{1+ac}{c-a}, \frac{1+ab}{b-a}$ son enteros. Demuestre que estos tres enteros son primos relativos dos a dos.

7 Sea $ P (x) $ un polinomio con coeficientes reales tal que $ P (x)> 0 $ para todo $ x \geq 0 $ . Demuestre que existe un entero positivo $ n $ tal que $ (1 + x) ^ n P (x) $ es un polinomio con coeficientes no negativos.

3 ¿Existe una sucesión $\{a_n\}$ de enteros positivos que satisfaga las siguientes condiciones: $a)$ todo número natural aparece en esta sucesión y exactamente una vez; $b)$ $a_1 + a_2 +... + a_n$ es divisible por $n^n$ para cada $n = 1,2,3, ...$ ?