8 Los puntos $P_1,\dots,P_{1024}$, distintos dos a dos y situados en una circunferencia, están marcados con números reales distintos $a_1,\dots,a_{1024}$. Sea $P_i$ $Q-$bueno para un punto $Q$ de la circunferencia diferente de $P_1,\dots,P_{1024}$, si y solo si $a_i$ es el mayor número en al menos uno de los dos arcos $P_iQ$. Sea la puntuación de $Q$ el número de puntos $Q-$bueno en la circunferencia. Determine el mayor $k$ tal que, independientemente de los valores de $a_1,\dots,a_{1024}$, existe un punto $Q$ con puntuación al menos $k$.

1 Dada una sucesión de longitud $2017$ que consiste en los primeros $2017$ enteros positivos en orden arbitrario (cada número aparece exactamente una vez). Consideremos el primer término de la sucesión; sea $k$. A partir de la sucesión dada formamos una nueva sucesión de longitud 2017, tal que los primeros $k$ elementos de la nueva sucesión son los mismos que los primeros $k$ elementos de la sucesión original, pero en orden inverso, mientras que los demás elementos permanecen sin cambios. Demuestre que si continuamos transformando la sucesión, eventualmente obtendremos una sucesión con primer elemento $1$.

2 Dado el triángulo $ABC$ y los puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $PQ\mid\mid BC$. Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de las rectas $BQ$ y $CP$ con la circunferencia circunscrita $k$ del triángulo $APQ$, y sean $D$ y $E$ los puntos de intersección de las rectas $AX$ y $AY$ con el lado $BC$. Si $2\cdot DE=BC$, demuestre que la circunferencia $k$ contiene al punto de intersección de la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ con $BC$

3 Para un entero positivo $n$ definimos $f(n)$ como la suma de todos sus divisores enteros positivos (incluyendo $1$ y $n$). Halle todos los enteros positivos $c$ tales que existe una sucesión infinita estrictamente creciente de enteros positivos $n_1, n_2,n_3,...$ tal que para todo $i \in \mathbb{N}$ se cumple $f(n_i)-n_i=c$

4 Sean $a$, $b$, $c$, $d$ y $e$ números reales positivos distintos tales que $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de$ $a)$ Demuestre que entre estos $5$ números existe un trío tal que no pueden ser lados de un triángulo $b)$ Demuestre que, para $a)$, existen al menos $6$ tríos diferentes

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sea $E$ el punto de intersección de las rectas $AB$ y $CD$. Sean $K$ y $L$ puntos arbitrarios en los lados $CD$ y $AB$, respectivamente, que satisfacen las condiciones $$\angle KAD = \angle KBC \quad \text{and} \quad \angle LDA = \angle LCB.$$ Demuestre que $EK = EL$.

2 Sea $n$ un entero positivo. Aslı y Zehra juegan un juego en una cuadrícula de $n\times n$. Inicialmente, se colocan $10n^2$ piedras en algunos de los cuadrados unitarios de esta cuadrícula. En cada movimiento (empezando por Aslı), Aslı elige una fila o una columna que contenga al menos dos cuadrados con números diferentes de piedras, y Zehra redistribuye las piedras de esa fila o columna de modo que, después de la redistribución, la diferencia en el número de piedras entre cualesquiera dos cuadrados de esa fila o columna sea a lo sumo uno. Además, este movimiento debe cambiar el número de piedras en al menos un cuadrado. ¿Para qué valores de $n$, independientemente de la colocación inicial de las piedras, puede Aslı garantizar que todos los cuadrados terminen con el mismo número de piedras?

3 Halle todas las soluciones reales positivas $(a, b, c)$ del siguiente sistema: $$ \begin{aligned} a^2 + \frac{b}{a} &= 8, \\ ab + c^2 &= 18, \\ 3a + b + c &= 9\sqrt{3}. \end{aligned} $$

4 Sean $p$ y $q$ números primos. Demuestre que si $pq(p+1)(q+1)+1$ es un cuadrado perfecto, entonces $pq + 1$ también es un cuadrado perfecto.

5 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que una potencia de exponente entero positivo de $2n^2+4n-1$ es igual a una potencia de exponente entero positivo de $3n+4$.