4 bloques de patio que son hexágonos de $1$ unidad por lado se usan para delimitar un jardín colocando los bloques borde con borde con $n$ en cada lado. El diagrama indica el recorrido de los bloques alrededor del jardín cuando $n=5.$ [asy] size(250);int i,j; real r=sqrt(3); for(i=0; i<6; i=i+1) { for(j=0; j<4; j=j+1) { draw(shift(((j*r)*dir(60*i+150)).x, ((j*r)*dir(60*i+150)).y)*shift((4r*dir(60i+30)).x,(4r*dir(60i+30)).y)*polygon(6)); }}[/asy] Si $n=202,$ entonces el área del jardín encerrado por el recorrido, sin incluir el propio recorrido, es $m(\sqrt{3}/2)$ unidades cuadradas, donde $m$ es un entero positivo. Encuentra el residuo cuando $m$ se divide entre $1000.$

5 Sean $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{12}$ los vértices de un dodecágono regular. ¿Cuántos cuadrados distintos en el plano del dodecágono tienen al menos dos vértices en el conjunto $\{A_1,A_2,A_3,\ldots,A_{12}\}?$

3 (a) ¿Existen 2009 enteros positivos distintos tales que su suma sea divisible por cada uno de los números dados? (b) ¿Existen 2009 enteros positivos distintos tales que su suma sea divisible por la suma de cualesquiera dos de los números dados?

7 La expansión binomial es válida para exponentes que no son enteros. Es decir, para todos los números reales $ x, y,$ y $ r$ con $ |x| > |y|,$ \[ (x + y)^r = x^r + rx^{r - 1}y + \frac {r(r - 1)}2x^{r - 2}y^2 + \frac {r(r - 1)(r - 2)}{3!}x^{r - 3}y^3 + \cdots \] ¿Cuáles son los primeros tres dígitos a la derecha del punto decimal en la representación decimal de $ \left(10^{2002} + 1\right)^{10/7}?$

Muchos estados usan una secuencia de tres letras seguida de una secuencia de tres dígitos como su patrón estándar de placas. Dado que cada arreglo de tres letras y tres dígitos es igualmente probable, la probabilidad de que una placa así contenga al menos un palíndromo (un arreglo de tres letras o un arreglo de tres dígitos que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda) es $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

En el triángulo \( \triangle ABC \), \( AB = 360 \), \( BC = 507 \), y \( CA = 780 \). Sea \( M \) el punto medio de \( \overline{CA} \), y sea \( D \) el punto sobre \( \overline{CA} \) tal que \( \overline{BD} \) biseca al ángulo \( ABC \). Sea \( F \) el punto sobre \( \overline{BC} \) tal que \( \overline{DF} \perp \overline{BD} \). Supón que \( \overline{DF} \) interseca a \( \overline{BM} \) en \( E \). La razón \( DE:EF \) se puede escribir en la forma \( m/n \), donde \( m \) y \( n \) son enteros positivos primos relativos. Encuentra \( m + n \).

8 Encuentra el entero más pequeño $k$ para el cual las condiciones $(1)$ $a_1, a_2, a_3, \ldots$ es una sucesión no decreciente de enteros positivos $(2)$ $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ para todo $n>2$ $(3)$ $a_9=k$ son satisfechas por más de una sucesión.

10 En el diagrama siguiente, el ángulo $ABC$ es un ángulo recto. El punto $D$ está sobre $\overline{BC}$, y $\overline{AD}$ biseca al ángulo $CAB$. Los puntos $E$ y $F$ están sobre $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$, respectivamente, de modo que $AE=3$ y $AF=10$. Dado que $EB=9$ y $FC=27$, encuentra el entero más cercano al área del cuadrilátero $DCFG$. [asy] size(250); pair A=(0,12), E=(0,8), B=origin, C=(24*sqrt(2),0), D=(6*sqrt(2),0), F=A+10*dir(A--C), G=intersectionpoint(E--F, A--D); draw(A--B--C--A--D^^E--F); pair point=G+1*dir(250); label("$A$", A, dir(point--A)); label("$B$", B, dir(point--B)); label("$C$", C, dir(point--C)); label("$D$", D, dir(point--D)); label("$E$", E, dir(point--E)); label("$F$", F, dir(point--F)); label("$G$", G, dir(point--G)); markscalefactor=0.1; draw(rightanglemark(A,B,C)); label("10", A--F, dir(90)*dir(A--F)); label("27", F--C, dir(90)*dir(F--C)); label("3", (0,10), W); label("9", (0,4), W);[/asy]

14 Un conjunto $\mathcal{S}$ de enteros positivos distintos tiene la siguiente propiedad: para cada entero $x$ en $\mathcal{S},$ la media aritmética del conjunto de valores que se obtienen al eliminar $x$ de $\mathcal{S}$ es un entero. Dado que 1 pertenece a $\mathcal{S}$ y que 2002 es el elemento más grande de $\mathcal{S},$ ¿cuál es el mayor número de elementos que puede tener $\mathcal{S}$?

En el triángulo \(ABC,\) el punto \(D\) está sobre \(\overline{BC}\) con \(CD=2\) y \(DB=5,\) el punto \(E\) está sobre \(\overline{AC}\) con \(CE=1\) y \(EA=3,\) \(AB=8,\) y \(\overline{AD}\) y \(\overline{BE}\) se intersectan en \(P.\) Los puntos \(Q\) y \(R\) están sobre \(\overline{AB}\) de modo que \(\overline{PQ}\) es paralelo a \(\overline{CA}\) y \(\overline{PR}\) es paralelo a \(\overline{CB}.\) Se da que la razón del área del triángulo \(PQR\) al área del triángulo \(ABC\) es \(m/n,\) donde \(m\) y \(n\) son enteros positivos primos relativos. Encuentra \(m+n.\)