4 Los subconjuntos $A_1,A_2,\ldots ,A_{2000}$ de un conjunto finito $M$ satisfacen $|A_i|>\frac{2}{3}|M|$ para cada $i=1,2,\ldots ,2000$ . Demuestre que existe $m\in M$ que pertenece a al menos $1334$ de los subconjuntos $A_i$ .

1 Sea $f(x)=ax^2+bx+c$ , donde $a,b,c$ son números reales no negativos, no todos iguales a cero. Demuestre que $f(xy)^2\le f(x^2)f(y^2)$ para todos los números reales $x,y$ .

2 Un triángulo rectángulo tiene lados de longitudes enteras, y la suma de su área y la longitud de uno de sus catetos es igual a $75$ . Halle las longitudes de los lados del triángulo.

4 (a) Los enteros positivos $p,q,r,a$ satisfacen $pq=ra^2$ , donde $r$ es primo y $p,q$ son primos relativos. Demuestre que uno de los números $p,q$ es un cuadrado perfecto. (b) Examine si existe un primo $p$ tal que $p(2^{p+1}-1)$ sea un cuadrado perfecto.

3 En un triángulo $ABC$ tenemos $\angle C>10^0$ y $\angle B=\angle C+10^0.$ Consideramos el punto $E$ sobre el lado $AB$ tal que $\angle ACE=10^0,$ y el punto $D$ sobre el lado $AC$ tal que $\angle DBA=15^0.$ Sea $Z\neq A$ un punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $AEC.$ Demuestre que $\angle ZBA>\angle ZCA.$

2 Demuestre que no existen enteros positivos $a,b$ tales que $(15a +b)(a +15b)$ sea una potencia de $3.$

3 Una función $f : \Bbb{N}_0 \to \Bbb{R}$ satisface $f(1) = 3$ y \[f(m + n) + f(m - n) - m + n - 1 =\frac{f(2m) + f(2n)}{2},\] para cualesquiera enteros no negativos $m$ y $n$ con $m \geq n.$ Halle todas las funciones $f$ de este tipo.

1 Un triángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia de radio $R.$ Sean $BD$ y $CE$ las bisectrices de los ángulos $B$ y $C$ respectivamente y sea la recta $DE$ la que corta al arco $AB$ que no contiene a $C$ en el punto $K.$ Sean $A_1, B_1, C_1$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $K$ a $BC, AC, AB,$ y $x, y$ las distancias desde $D$ y $E$ a $BC,$ respectivamente. (a) Exprese las longitudes de $KA_1, KB_1, KC_1$ en términos de $x, y$ y de la razón $l = KD/ED.$ (b) Demuestre que $\frac{1}{KB}=\frac{1}{KA}+\frac{1}{KC}.$

3 En un triángulo acutángulo $ABC$ , $AD,BE$ y $CF$ son las alturas y $H$ el ortocentro. Las rectas $EF$ y $BC$ se cortan en $N$ . La recta que pasa por $D$ y es paralela a $FE$ corta a las rectas $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $NKL$ biseca al lado $BC$ .

4 Sobre una circunferencia se dan $n\ge 3$ puntos. ¿En cuántas partes, como máximo, pueden los segmentos con extremos en estos $n$ puntos dividir el interior de la circunferencia?