Una estantería contiene $n$ volúmenes, etiquetados del $1$ al $n$ , en algún orden. El bibliotecario desea ponerlos en el orden correcto de la siguiente manera. El bibliotecario selecciona un volumen que está demasiado a la derecha, digamos el volumen con la etiqueta $k$ , lo saca y lo inserta en la posición $k$ -ésima. Por ejemplo, si la estantería contiene los volúmenes $1,3,2,4$ en ese orden, el bibliotecario podría sacar el volumen $2$ y colocarlo en la segunda posición. Los libros estarán entonces en el orden correcto $1,2,3,4$ . (a) Demostrar que si este proceso se repite, entonces, independientemente de cómo el bibliotecario haga las selecciones, todos los volúmenes eventualmente estarán en el orden correcto. (b) ¿Cuál es el mayor número de pasos que puede tomar este proceso?

Un número de robots se colocan en los cuadrados de una cuadrícula rectangular finita de cuadrados. Un cuadrado puede contener cualquier número de robots. Cada borde de cada cuadrado de la cuadrícula se clasifica como pasable o intransitable. Todos los bordes en el límite de la cuadrícula son intransitables. Puede dar cualquiera de los comandos arriba, abajo, izquierda o derecha. Todos los robots intentan simultáneamente moverse en la dirección especificada. Si el borde adyacente a un robot en esa dirección es pasable, el robot se mueve a través del borde y hacia el siguiente cuadrado. De lo contrario, el robot permanece en su cuadrado actual. Luego puede dar otro comando de arriba, abajo, izquierda o derecha, luego otro, durante el tiempo que desee. Suponga que para cualquier robot individual y cualquier cuadrado en la cuadrícula, existe una secuencia finita de comandos que moverá ese robot a ese cuadrado. Demuestre que también puede dar una secuencia finita de comandos de tal manera que todos los robots terminen en el mismo cuadrado al mismo tiempo.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $P$ el punto de intersección de $AC$ y $BD$ . Suponga que $AC+AD=BC+BD$ . Demostrar que las bisectrices internas de $\angle ACB$ , $\angle ADB$ y $\angle APB$ se encuentran en un punto común.

Para cualquier entero positivo $n$ y $k$ , sea $L(n,k)$ el mínimo común múltiplo de los $k$ enteros consecutivos $n,n+1,\ldots ,n+k-1$ . Demostrar que para cualquier entero $b$ , existen enteros $n$ y $k$ tales que $L(n,k)>bL(n+1,k)$ .

Sean $x,y$ y $z$ números reales positivos. Demostrar que $x^2+xy^2+xyz^2\ge 4xyz-4$.

Un recorrido de torre autoevasivo en un tablero de ajedrez (una cuadrícula rectangular de cuadrados unitarios) es un camino trazado por una secuencia de movimientos paralelos a un borde del tablero desde un cuadrado unitario a otro, de tal manera que cada uno comienza donde terminó el movimiento anterior y de tal manera que ningún movimiento cruza nunca un cuadrado que haya sido cruzado previamente, es decir, el camino de la torre no se autointerseca. Sea $R(m, n)$ el número de recorridos de torre autoevasivos en un tablero de ajedrez de $m \times n$ ($m$ filas, $n$ columnas) que comienzan en la esquina inferior izquierda y terminan en la esquina superior izquierda. Por ejemplo, $R(m, 1) = 1$ para todos los números naturales $m$; $R(2, 2) = 2$; $R(3, 2) = 4$; $R(3, 3) = 11$. Encuentre una fórmula para $R(3, n)$ para cada número natural $n$.

Determine todas las funciones $f$ definidas en los números naturales que toman valores entre los números naturales para los cuales \[ (f(n))^p \equiv n\quad {\rm mod}\; f(p) \] para todo $n \in {\bf N}$ y todos los números primos $p$.

Sean $a$, $b$, $c$ números reales positivos para los cuales $a + b + c = 1$. Demuestre que \[ {{a-bc}\over{a+bc}} + {{b-ca}\over{b+ca}} + {{c-ab}\over{c+ab}} \leq {3 \over 2}.\]

Determine todas las funciones $f$ definidas en el conjunto de los números racionales que toman valores racionales para las cuales \[ f(2f(x) + f(y)) = 2x + y, \] para cada $x$ e $y$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo para el cual $AB$ es el lado más largo. Los puntos $M$ y $N$ están ubicados en los lados $AB$ y $BC$ respectivamente, de modo que cada uno de los segmentos $AN$ y $CM$ divide al cuadrilátero en dos partes de igual área. Demuestre que el segmento $MN$ biseca la diagonal $BD$.