Alphonse y Beryl están jugando un juego. El juego comienza con dos rectángulos con longitudes de lados enteros. Los jugadores alternan turnos, comenzando Alphonse. En su turno, un jugador elige un rectángulo y hace un corte paralelo a un lado, cortando el rectángulo en dos piezas, cada una de las cuales tiene longitudes de lados enteros. El jugador luego descarta uno de los tres rectángulos (ya sea el que no cortó o una de las dos piezas que cortó) dejando dos rectángulos para el otro jugador. Un jugador pierde si no puede cortar un rectángulo. Determine quién gana cada uno de los siguientes juegos: (a) Los rectángulos iniciales son $1 \times 2020$ y $2 \times 4040$. (b) Los rectángulos iniciales son $100 \times 100$ y $100 \times 500$.

Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ y sea $I$ el centro de la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$. Una línea que pasa por el punto $I$ es perpendicular a la línea $IO$ y pasa por la circunferencia inscrita en los puntos $P$ y $Q$. Demuestre que el diámetro de la circunferencia circunscrita es igual al perímetro del triángulo $OPQ$.

$ABCDE$ es un pentágono regular. Se dibujan dos círculos $C_1$ y $C_2$ que pasan por $B$ con centros $A$ y $C$ respectivamente. Sea $P$ la otra intersección de $C_1$ y $C_2$. El círculo con centro $P$ que pasa por $E$ y $D$ intersecta a $C_2$ en $X$ y a $AE$ en $Y$. Demuestre que $AX = AY$.

Determine todas las soluciones enteras al sistema de ecuaciones: \n\begin{align*}\nxy + yz + zx &= -4 \\\nx^2 + y^2 + z^2 &= 24 \\\nx^{3} + y^3 + z^3 + 3xyz &= 16\n\end{align*}

Determine todos los polinomios reales $p$ tales que $p(x+p(x))=x^2p(x)$ para todo $x$.

Digamos que una terna ordenada de enteros positivos $(a,b,c)$ es $n$ -potente si $a\le b\le c,\gcd (a,b,c)=1$ y $a^n+b^n+c^n$ es divisible por $a+b+c$. Por ejemplo, $(1,2,2)$ es $5$ -potente. \n$a)$ Determine todas las ternas ordenadas (si las hay) que son $n$ -potentes para todo $n\ge 1$. \n$b)$ Determine todas las ternas ordenadas (si las hay) que son $2004$ -potentes y $2005$ -potentes, pero no $2007$ -potentes.

Sea $ABC$ un triángulo con circunradio $R$, perímetro $P$ y área $K$. Determine el valor máximo de: $\frac{KP}{R^3}$.

Sea $S$ un conjunto de $n\ge 3$ puntos en el interior de un círculo. \n$a)$ Demuestre que hay tres puntos distintos $a,b,c\in S$ y tres puntos distintos $A,B,C$ en el círculo tales que $a$ está (estrictamente) más cerca de $A$ que cualquier otro punto en $S$, $b$ está más cerca de $B$ que cualquier otro punto en $S$ y $c$ está más cerca de $C$ que cualquier otro punto en $S$. \n$b)$ Demuestre que para ningún valor de $n$ se pueden garantizar cuatro puntos en $S$ (y los puntos correspondientes en el círculo).

Sea $(a,b,c)$ una terna pitagórica, es decir, una terna de enteros positivos con $a^2+b^2=c^2$. \n$a)$ Pruebe que $\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)^2>8$. \n$b)$ Pruebe que no hay enteros $n$ y ternas pitagóricas $(a,b,c)$ que satisfagan $\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)^2=n$.

Un triángulo equilátero de lado $n$ se divide en triángulos unitarios. Sea $f(n)$ el número de caminos desde el triángulo en la fila superior hasta el triángulo central en la fila inferior, de tal manera que los triángulos adyacentes en un camino comparten un lado común y el camino nunca viaja hacia arriba (desde una fila inferior a una fila superior) o vuelve a visitar un triángulo. Se muestra un ejemplo en la imagen para $n = 5$. Determine el valor de $f(2005)$.