Considere tres paralelogramos $P_1,~P_2,~ P_3$ . El paralelogramo $P_3$ está dentro del paralelogramo $P_2$ , y los vértices de $P_3$ están en los lados de $P_2$ . El paralelogramo $P_2$ está dentro del paralelogramo $P_1$ , y los vértices de $P_2$ están en los lados de $P_1$ . Los lados de $P_3$ son paralelos a los lados de $P_1$ . Demuestre que un lado de $P_3$ tiene una longitud de al menos la mitad de la longitud del lado paralelo de $P_1$ .

Si $(a,~b,~c)$ es una terna de números reales, defina $g(a,~b,~c)=(a+b,~b+c,~a+c)$ , y $g^n(a,~b,~c)=g(g^{n-1}(a,~b,~c))$ para $n\ge 2$ Suponga que existe un entero positivo $n$ tal que $g^n(a,~b,~c)=(a,~b,~c)$ para algún $(a,~b,~c)\neq (0,~0,~0)$ . Demuestre que $g^6(a,~b,~c)=(a,~b,~c)$

Hay $15$ revistas sobre una mesa, y cubren toda la superficie de la mesa. Demuestre que siempre se pueden quitar $7$ revistas de tal manera que las restantes cubran al menos $\dfrac{8}{15}$ del área de la superficie de la mesa

La sucesión de Fibonacci está definida por $f_1=f_2=1$ y $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$ para $n\ge 3$ . Un triángulo pitagórico es un triángulo rectángulo con lados de longitud entera. Demuestre que $f_{2k+1}$ es la hipotenusa de un triángulo pitagórico para cada entero positivo $k$ con $k\ge 2$

Determine el entero positivo más pequeño $m$ con la propiedad de que $m^3-3m^2+2m$ es divisible por $79$ y $83$ .

Demuestre que no hay ningún número real $x$ que satisfaga ambas ecuaciones \begin{align*}2^x+1=2\sin x \\ 2^x-1=2\cos x.\end{align*}

Dos tangentes $AT$ y $BT$ tocan un círculo en $A$ y $B$ , respectivamente, y se encuentran perpendicularmente en $T$ . $Q$ está en $AT$ , $S$ está en $BT$ , y $R$ está en el círculo, de modo que $QRST$ es un rectángulo con $QT = 8$ y $ST = 9$ . Determine el radio del círculo.

Suponga que $a$ , $b$ y $x$ son números reales positivos. Demuestre que $\log_{ab} x =\dfrac{\log_a x\log_b x}{\log_ax+\log_bx}$ .

Una cadena de longitud $n$ es una secuencia de $n$ caracteres de un conjunto especificado. Por ejemplo, $BCAAB$ es una cadena de longitud 5 con caracteres del conjunto $\{A,B,C\}$ . Una subcadena de una cadena dada es una cadena de caracteres que aparecen consecutivamente y en orden en la cadena dada. Por ejemplo, la cadena $CA$ es una subcadena de $BCAAB$ pero $BA$ no es una subcadena de $BCAAB$ . Enumere todas las cadenas de longitud 4 con caracteres del conjunto $\{A,B,C\}$ en las que las cadenas $AB$ y $BA$ aparecen como subcadenas. (Por ejemplo, la cadena $ABAC$ debería aparecer en su lista). Determine el número de cadenas de longitud 7 con caracteres del conjunto $\{A,B,C\}$ en las que $CC$ aparece como una subcadena. Sea $f(n)$ el número de cadenas de longitud $n$ con caracteres del conjunto $\{A,B,C\}$ tal que $CC$ aparece como una subcadena, y si $AB$ o $BA$ aparece como una subcadena entonces hay una aparición de la subcadena $CC$ a su izquierda. (por ejemplo, cuando $n\;=\;6$ , las cadenas $CCAABC$ y $ACCBBB$ y $CCABCC$ satisfacen los requisitos, pero las cadenas $BACCAB$ y $ACBBAB$ y $ACBCAC$ no lo hacen). Demuestre que $f(2097)$ es un múltiplo de $97$ .

Determine el entero positivo $x$ para el cual $\dfrac14-\dfrac{1}{x}=\dfrac16.$ Determine todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ para los cuales $ab-b+a-1=4.$ Determine el número de pares de enteros positivos $(y,z)$ para los cuales $\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{12}.$ Demuestre que, para cada número primo $p$ , hay al menos dos pares $(r,s)$ de enteros positivos para los cuales $\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{p^2}.$