Para $ n\ge 2$ , sean $ S_1$ , $ S_2$ , $ \ldots$ , $ S_{2^n}$ $ 2^n$ subconjuntos de $ A = \{1, 2, 3, \ldots, 2^{n + 1}\}$ que satisfacen la siguiente propiedad: No existen índices $ a$ y $ b$ con $ a < b$ y elementos $ x$ , $ y$ , $ z\in A$ con $ x < y < z$ y $ y$ , $ z\in S_a$ , y $ x$ , $ z\in S_b$ . Pruebe que al menos uno de los conjuntos $ S_1$ , $ S_2$ , $ \ldots$ , $ S_{2^n}$ no contiene más de $ 4n$ elementos.

Sea $ S = \{x_1, x_2, \ldots, x_{k + l}\}$ un conjunto de $ (k + l)$ - elementos de números reales contenidos en el intervalo $ [0, 1]$ ; $ k$ y $ l$ son enteros positivos. Un subconjunto de $ k$ - elementos $ A\subset S$ se llama agradable si \[ \left |\frac {1}{k}\sum_{x_i\in A} x_i - \frac {1}{l}\sum_{x_j\in S\setminus A} x_j\right |\le \frac {k + l}{2kl}\] Pruebe que el número de subconjuntos agradables es al menos $ \dfrac{2}{k + l}\dbinom{k + l}{k}$ .

Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos con $ k \geq n$ y $ k - n$ un número par. Sean $ 2n$ lámparas etiquetadas $ 1$ , $ 2$ , ..., $ 2n$ dadas, cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Consideramos secuencias de pasos: en cada paso una de las lámparas se cambia (de encendida a apagada o de apagada a encendida). Sea $ N$ el número de tales secuencias que consisten en $ k$ pasos y resultan en el estado donde las lámparas $ 1$ hasta $ n$ están todas encendidas, y las lámparas $ n + 1$ hasta $ 2n$ están todas apagadas. Sea $ M$ el número de tales secuencias que consisten en $ k$ pasos, resultando en el estado donde las lámparas $ 1$ hasta $ n$ están todas encendidas, y las lámparas $ n + 1$ hasta $ 2n$ están todas apagadas, pero donde ninguna de las lámparas $ n + 1$ hasta $ 2n$ es nunca encendida. Determine $ \frac {N}{M}$ .

En el plano coordenado considere el conjunto $ S$ de todos los puntos con coordenadas enteras. Para un entero positivo $ k$ , dos puntos distintos $A$ , $ B\in S$ serán llamados $ k$ - amigos si existe un punto $ C\in S$ tal que el área del triángulo $ ABC$ es igual a $ k$ . Un conjunto $ T\subset S$ será llamado $ k$ - clique si cada dos puntos en $ T$ son $ k$ - amigos. Encuentre el entero positivo más pequeño $ k$ para el cual existe un $ k$ - clique con más de 200 elementos.

Sea $n \in \mathbb N$ y $A_n$ el conjunto de todas las permutaciones $(a_1, \ldots, a_n)$ del conjunto $\{1, 2, \ldots , n\}$ para las cuales \[k|2(a_1 + \cdots+ a_k), \text{ para todo } 1 \leq k \leq n.\] Encuentra el número de elementos del conjunto $A_n$.

Sea $n$ un entero positivo y sea $p$ un número primo. Demuestre que si $a$ , $b$ , $c$ son enteros (no necesariamente positivos) que satisfacen las ecuaciones\n\[ a^n + pb = b^n + pc = c^n + pa\]\nentonces $a = b = c$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $BA\neq BC$. Denotemos los incírculos de los triángulos $ABC$ y $ADC$ por $ \omega_{1}$ y $ \omega_{2}$ respectivamente. Suponga que existe un círculo $ \omega$ tangente al rayo $ BA$ más allá de $ A$ y al rayo $ BC$ más allá de $ C$ , que también es tangente a las líneas $ AD$ y $ CD$ . Demuestre que las tangentes externas comunes a $ \omega_{1}$ y $ \omega_{2}$ se intersecan en $ \omega$ .

Se da un cuadrilátero convexo $ABCD$. Demuestre que existe un punto $P$ dentro del cuadrilátero tal que \n\[\n\angle PAB + \angle PDC = \angle PBC + \angle PAD = \angle PCD + \angle PBA = \angle PDA + \angle PCB = 90^{\circ}\n\]\nsi y sólo si las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares.

Sean $k$ y $n$ enteros con $0\le k\le n - 2$. Considere un conjunto $L$ de $n$ líneas en el plano tales que no hay dos de ellas paralelas y no hay tres con un punto común. Denotemos por $I$ el conjunto de intersecciones de líneas en $L$. Sea $O$ un punto en el plano que no se encuentra en ninguna línea de $L$. Un punto $X\in I$ se colorea de rojo si el segmento de línea abierto $OX$ interseca como máximo $k$ líneas en $L$. Demuestre que $I$ contiene al menos $\dfrac{1}{2}(k + 1)(k + 2)$ puntos rojos.

Sea $ n$ un entero positivo. Demostrar que los números \[ \binom{2^n - 1}{0},\; \binom{2^n - 1}{1},\; \binom{2^n - 1}{2},\; \ldots,\; \binom{2^n - 1}{2^{n - 1} - 1}\] son congruentes módulo $ 2^n$ a $ 1$ , $ 3$ , $ 5$ , $ \ldots$ , $ 2^n - 1$ en algún orden.