Ali Barber, el comerciante de alfombras, tiene una pieza rectangular de alfombra cuyas dimensiones son desconocidas. Desafortunadamente, su cinta métrica está rota y no tiene otros instrumentos de medición. Sin embargo, encuentra que si la coloca plana en el suelo de cualquiera de sus trasteros, entonces cada esquina de la alfombra toca una pared diferente de esa habitación. Sabe que los lados de la alfombra son números enteros de pies y que sus dos trasteros tienen la misma longitud (desconocida), pero anchos de 38 pies y 50 pies respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones de la alfombra?

Ali Barber, el comerciante de alfombras, tiene una pieza rectangular de alfombra cuyas dimensiones son desconocidas. Desafortunadamente, su cinta métrica está rota y no tiene otros instrumentos de medición. Sin embargo, encuentra que si la coloca plana en el suelo de cualquiera de sus trasteros, entonces cada esquina de la alfombra toca una pared diferente de esa habitación. Si las dos habitaciones tienen dimensiones de 38 pies por 55 pies y 50 pies por 55 pies, ¿cuáles son las dimensiones de la alfombra?

$ABC$ es un triángulo, la bisectriz del ángulo $A$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $A_1$, los puntos $B_1$ y $C_1$ se definen de manera similar. Sea $AA_1$ el punto de encuentro de las líneas que bisecan los dos ángulos externos en $B$ y $C$ en $A_0$. Define $B_0$ y $C_0$ de manera similar. Demuestra que el área del triángulo $A_0B_0C_0 = 2 \cdot$ área del hexágono $AC_1BA_1CB_1 \geq 4 \cdot$ área del triángulo $ABC$.

En el conjunto $S_n = \{1, 2,\ldots ,n\}$ se define una nueva multiplicación $a*b$ con las siguientes propiedades: \n(i) $c = a * b$ está en $S_n$ para cualquier $a \in S_n, b \in S_n.$\n(ii) Si el producto ordinario $a \cdot b$ es menor o igual que $n,$ entonces $a*b = a \cdot b.$\n(iii) Las reglas ordinarias de multiplicación se cumplen para $*,$ es decir:\n(1) $a * b = b * a$ (conmutatividad)\n(2) $ (a * b) * c = a * (b * c)$ (asociatividad)\n(3) Si $a * b = a * c$ entonces $b = c$ (ley de cancelación).\nEncuentra una tabla de multiplicación adecuada para el nuevo producto para $n = 11$ y $n = 12.$

Demostrar que hay infinitos enteros positivos $ n$ tales que $ n^{2} + 1$ tiene un divisor primo mayor que $ 2n + \sqrt {2n}$ .

Para todo $ n\in\mathbb{N}$ sea $ d(n)$ el número de divisores (positivos) de $ n$ . Encontrar todas las funciones $ f: \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ con las siguientes propiedades: $ d\left(f(x)\right) = x$ para todo $ x\in\mathbb{N}$ . $ f(xy)$ divide a $ (x - 1)y^{xy - 1}f(x)$ para todo $ x$ , $ y\in\mathbb{N}$ .

En un triángulo acutángulo $ABC$, los segmentos $BE$ y $CF$ son alturas. Dos círculos que pasan por el punto $A$ y $F$ y son tangentes a la línea $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ de modo que $B$ se encuentra entre $C$ y $Q$. Demuestre que las líneas $PE$ y $QF$ se intersecan en la circunferencia circunscrita del triángulo $AEF$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $P$ y $Q$ puntos en $ABCD$ tales que $PQDA$ y $QPBC$ son cuadriláteros cíclicos. Suponga que existe un punto $E$ en el segmento de línea $PQ$ tal que $ \angle PAE = \angle QDE$ y $ \angle PBE = \angle QCE$. Demuestre que el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico.

Dado un trapecio $ABCD$ con lados paralelos $AB$ y $CD$, asuma que existen puntos $E$ en la línea $BC$ fuera del segmento $BC$, y $F$ dentro del segmento $AD$ tal que $ \angle DAE = \angle CBF$. Denotemos por $I$ el punto de intersección de $CD$ y $EF$, y por $J$ el punto de intersección de $AB$ y $EF$. Sea $K$ el punto medio del segmento $EF$, asuma que no está en la línea $AB$. Demuestre que $I$ pertenece a la circunferencia circunscrita de $ABK$ si y sólo si $K$ pertenece a la circunferencia circunscrita de $CDJ$.

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$. El círculo $ \Gamma_{A}$ con centro en el punto medio de $BC$ y que pasa por $H$ interseca la línea $BC$ en los puntos $A_{1}$ y $A_{2}$. De manera similar, defina los puntos $B_{1}$, $B_{2}$, $C_{1}$ y $C_{2}$. Demuestre que los seis puntos $A_{1}$, $A_{2}$, $B_{1}$, $B_{2}$, $C_{1}$ y $C_{2}$ son concíclicos.