En un triángulo acutángulo $\triangle ABC$, los puntos $C_m, A_m, B_m$ son los puntos medios de $AB, BC, CA$ respectivamente. Dentro del triángulo $\triangle ABC$ se elige un punto $P$ de modo que $\angle PCB = \angle B_mBC$ y $\angle PAB = \angle ABB_m.$ Una línea que pasa por $P$ y es perpendicular a $AC$ se encuentra con la mediana $BB_m$ en $E.$ Demuestre que $E$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle A_mB_mC_m.$

Un rectángulo de $1 \times 5n$ se divide en baldosas, cada una de las baldosas es un cuadrado separado de $1 \times 1$ o un dominó roto que consta de dos de tales cuadrados separados por cuatro cuadrados (que no pertenecen al dominó). Demuestre que el número de tales particiones es una quinta potencia perfecta.

Kostya marcó los puntos $A(0, 1), B(1, 0), C(0, 0)$ en el plano de coordenadas. En los catetos del triángulo ABC marcó los puntos con coordenadas $(\frac{1}{2},0), (\frac{1}{3},0), \cdots, (\frac{1}{n+1},0)$ y $(0,\frac{1}{2}), (0,\frac{1}{3}), \cdots, (0,\frac{1}{n+1}).$ Luego Kostya unió cada par de puntos marcados con un segmento. Sasha dibujó un rectángulo de $1 \times n$ y unió con un segmento cada par de puntos enteros en su borde. Como resultado, tanto el triángulo como el rectángulo se dividen en polígonos por los segmentos dibujados. ¿Quién tiene el mayor número de polígonos: Sasha o Kostya?

¿Existe una coloración de todos los enteros positivos en tres colores de modo que para cada entero positivo los números de sus divisores de dos colores cualesquiera difieran a lo sumo en $2?$

Demuestre que un trinomio cuadrático $x^2 + ax + b (a, b \in R)$ no puede alcanzar en diez puntos integrales consecutivos valores iguales a potencias de $2$ con exponente integral no negativo.

Para todo $a_1, a_2, \dots, a_6$ positivo, demuestre la desigualdad\n\[ \sqrt[4]{\frac{a_1}{a_2 + a_3 + a_4}} + \sqrt[4]{\frac{a_2}{a_3 + a_4 + a_5}} + \dots + \sqrt[4]{\frac{a_6}{a_1 + a_2 + a_3}} \ge 2 \]

Algunas de las $100$ ciudades de un reino están conectadas por carreteras. Se sabe que para cada dos ciudades $A$ y $B$ conectadas por una carretera, existe una ciudad $C$ que no está conectada por una carretera con al menos una de las ciudades $A$ y $B$. Determine el número máximo posible de carreteras en el reino.

Dos círculos $w_{1}$ y $w_{2}$ de diferentes radios son tangentes externamente en $L$. Una línea es tangente a $w_{1}$ en $A$ y a $w_{2}$ en $B$ (los puntos $A$ y $B$ son diferentes de $L$). Se elige un punto $X$ en el plano. $Y$ y $Z$ son los segundos puntos de intersección de las líneas $XA$ y $XB$ con $w_{1}$ y $w_{2}$ respectivamente. Demuestre que todos los $X$ tales que $AB||Y Z$ pertenecen a un círculo.

Ocho postes se encuentran a lo largo del camino. Un gorrión comienza en el primer poste y una vez por minuto vuela a un poste vecino. Sea $a(n)$ el número de formas de llegar al último poste en $2n + 1$ vuelos (asumimos que $a(m) = 0$ para $m < 3$ ). Demuestre que para todo $n \ge 4$\n$$a(n) - 7a(n-1)+ 15a(n-2) - 10a(n-3) +a(n-4)=0.$$

$M$ es el punto medio del lado $AB$ en un triángulo equilátero $\triangle ABC.$ El punto $D$ en el lado $BC$ es tal que $BD : DC = 3 : 1.$ En la línea que pasa por $C$ y es paralela a $MD$ hay un punto $T$ dentro del triángulo $\triangle ABC$ tal que $\angle CTA = 150.$ Encuentre el $\angle MT D.$