La ciudad de Neverreturn tiene $N$ paradas de autobús numeradas $1, 2, \cdots , N.$ Cada ruta de autobús es de una sola vía y tiene solo dos paradas, el inicio y el final. La red de rutas es tal que, saliendo de cualquier parada, no se puede regresar a ella utilizando los autobuses de la ciudad. Cuando el alcalde nota una ruta que va de una parada con un número mayor a una parada con un número menor, ordena intercambiar las placas de matrícula de su inicio y su final. ¿Puede el cambio de placas continuar infinitamente?

Cada fila de una tabla de $24 \times 8$ contiene alguna permutación de los números $1, 2, \cdots , 8.$ En cada columna se multiplican los números. ¿Cuál es la suma mínima posible de todos los productos?

Se dibujan varios puntos 'buenos', varios puntos 'malos' y varios segmentos en el plano. Cada segmento conecta un punto 'bueno' y uno 'malo'; como máximo $100$ segmentos comienzan en cada punto. Tenemos pintura de $200$ colores. La mitad de cada segmento se pinta con uno de estos colores, y la otra mitad con otro. ¿Es siempre posible hacerlo de modo que cada dos segmentos con un extremo común se pinten con cuatro colores diferentes?

Las bisectrices de un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ con ángulo recto $B$ se encuentran en el punto $I.$ La perpendicular a $IC$ trazada desde $B$ se encuentra con la línea $IA$ en $D;$ la perpendicular a $IA$ trazada desde $B$ se encuentra con la línea $IC$ en $E.$ Demuestre que el circuncentro del triángulo $\triangle IDE$ se encuentra en la línea $AC.$

Se dan enteros $a, b, c$ y un primo impar $p.$ Demuestre que $p$ divide a $x^2 + y^2 + ax + by + c$ para algunos enteros $x$ e $y.$

Arnim y Brentano tienen un pequeño florero con $1500$ dulces sobre la mesa y un enorme saco con dulces de repuesto debajo de la mesa. Juegan un juego por turnos, Arnim comienza. En cada movimiento, un jugador puede comer $7$ dulces o tomar $6$ dulces de debajo de la mesa y agregarlos al florero. Un jugador no puede ir debajo de la mesa en dos movimientos consecutivos. Un jugador es declarado ganador si deja el florero vacío. En cualquier otro caso, si un jugador no puede hacer un movimiento en su turno, el juego se declara empate. ¿Existe una estrategia ganadora para uno de los jugadores?

Dado un rectángulo $ABCD$ . Los puntos $E$ y $F$ se encuentran en los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, de modo que el área de los triángulos $ABE$ , $ECF$ , $FDA$ es igual a $1$ . Determina el área del triángulo $AEF$ .

Mazo realiza la siguiente operación en tripletes de enteros no negativos: Si al menos uno de ellos es positivo, elige un número positivo, lo disminuye en uno y reemplaza los dígitos en el lugar de las unidades con los otros dos números. Comienza con el triplete $x$ , $y$ , $z$ . Encuentra un triplete de enteros positivos $x$ , $y$ , $z$ tal que $xy + yz + zx = 1000$ (*) y el número de operaciones que Mazo puede realizar posteriormente con el triplete $x, y, z$ es (a) maximal (es decir, no hay ningún triplete de enteros positivos que satisfaga (*) que le permita hacer más operaciones); (b) minimal (es decir, todo triplete de enteros positivos que satisfaga (*) le permite realizar al menos tantas operaciones).

En el triángulo $ABC$ , los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente. Las bisectrices de los ángulos interiores $\angle ABC$ y $\angle BCA$ se intersecan con la línea $MN$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Sea $p$ la tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AMP$ que pasa por el punto $P$ , y $q$ la tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ANQ$ que pasa por el punto $Q$ . Demuestra que las líneas $p$ y $q$ se intersecan en la línea $BC$ .

$n$ personas se reunieron en la fiesta, con $n \ge 2$ . Cada persona no le gusta exactamente a otra persona presente en la fiesta (pero no necesariamente recíproco, es decir, puede suceder que a $A$ no le guste $B$ aunque a $B$ no le guste $A$ ) y le gustan a todos los demás. Demuestra que los invitados pueden sentarse en tres mesas de tal manera que a cada invitado le gusten todas las personas en su mesa.