Los números $1, 2,..., 2023$ están escritos en la pizarra en este orden. Podemos realizar repetidamente la siguiente operación con ellos: Seleccionamos cualquier número impar de números escritos consecutivamente y escribimos estos números en orden inverso. ¿Cuántos órdenes diferentes de estos $2023$ números podemos obtener? Ejemplo : Si comenzamos solo con los números $1, 2, 3, 4, 5, 6$ , podemos realizar los siguientes pasos $$1, 2, 3, 4, 5, 6 \to 3, 2, 1,4, 5, 6 \to 3, 6, 5, 4, 1, 2 \to 3, 6, 1, 4, 5, 2 \to ...$$

Sea $S(n)$ denota la suma de todos los dígitos del número natural $n$ . Determina todos los números naturales $n$ para los cuales ambos números $n + S(n)$ y $n - S(n)$ son potencias cuadradas de enteros distintos de cero.

Demuestra que existe una constante positiva $c$ tal que la siguiente afirmación es verdadera: Considera un entero $n > 1$ , y un conjunto $\mathcal S$ de $n$ puntos en el plano tal que la distancia entre dos puntos diferentes cualesquiera en $\mathcal S$ es al menos 1. De ello se deduce que existe una línea $\ell$ que separa $\mathcal S$ tal que la distancia desde cualquier punto de $\mathcal S$ a $\ell$ es al menos $cn^{-1/3}$ . (Una línea $\ell$ separa un conjunto de puntos S si algún segmento que une dos puntos en $\mathcal S$ cruza $\ell$ . ) Nota. Resultados más débiles con $cn^{-1/3}$ reemplazado por $cn^{-\alpha}$ pueden ser premiados con puntos dependiendo del valor de la constante $\alpha > 1/3$ .

Se da una baraja de $n > 1$ cartas. Se escribe un entero positivo en cada carta. La baraja tiene la propiedad de que la media aritmética de los números en cada par de cartas es también la media geométrica de los números en alguna colección de una o más cartas. ¿Para qué $n$ se deduce que los números en las cartas son todos iguales?

Hay un entero $n > 1$ . Hay $n^2$ estaciones en una pendiente de una montaña, todas a diferentes altitudes. Cada una de las dos compañías de teleférico, $A$ y $B$ , opera $k$ teleféricos; cada teleférico proporciona un traslado desde una de las estaciones a una más alta (sin paradas intermedias). Los $k$ teleféricos de $A$ tienen $k$ diferentes puntos de partida y $k$ diferentes puntos de llegada, y un teleférico que comienza más alto también termina más alto. Las mismas condiciones se cumplen para $B$ . Decimos que dos estaciones están unidas por una compañía si uno puede comenzar desde la estación más baja y llegar a la más alta utilizando uno o más carros de esa compañía (no se permiten otros movimientos entre estaciones). Determine el entero positivo más pequeño $k$ para el cual se puede garantizar que hay dos estaciones que están unidas por ambas compañías.

Hay $4n$ guijarros de pesos $1, 2, 3, \dots, 4n.$ Cada guijarro está coloreado en uno de $n$ colores y hay cuatro guijarros de cada color. Demuestra que podemos ordenar los guijarros en dos montones de manera que se cumplan las siguientes dos condiciones: Los pesos totales de ambos montones son los mismos. Cada montón contiene dos guijarros de cada color.

Los números reales $a, b, c, d$ son tales que $a\geq b\geq c\geq d>0$ y $a+b+c+d=1$ . Demuestra que \n\[(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d<1\]

Considera el cuadrilátero convexo $ABCD$ . El punto $P$ está en el interior de $ABCD$ . Se cumplen las siguientes igualdades de razones: \n\[\angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC\]\nDemuestra que las siguientes tres líneas se encuentran en un punto: las bisectrices internas de los ángulos $\angle ADP$ y $\angle PCB$ y la bisectriz perpendicular del segmento $AB$ .

Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AB$ y $CD$ tal que $AB = 2 CD$ . Desde $A$ se dibuja la línea $r$ perpendicular a $BC$ y desde $B$ se dibuja la línea $t$ perpendicular a $AD$ . Sea $P$ el punto de intersección de $r$ y $t$ . Desde $C$ se dibuja la línea $s$ perpendicular a $BC$ y desde $D$ la línea $u$ perpendicular a $AD$ . Sea $Q$ el punto de intersección de $s$ y $u$ . Si $R$ es el punto de intersección de las diagonales del trapecio, demuestre que los puntos $P, Q$ y $R$ son colineales.

Algunas de las personas que asisten a una reunión se saludan entre sí. Sea $n$ la cantidad de personas que saludan a un número impar de personas. Demuestre que $n$ es par.