Encuentra el valor más pequeño que toma la expresión $x^4 + y^4 - x^2y - xy^2$, para números positivos $x$ e $y$ que satisfacen $x + y \le 1$.

Una cruz es la figura compuesta por $6$ cuadrados unitarios que se muestra a continuación (y cualquier figura hecha de ella por rotación). Encuentra el mayor número de cruces que se pueden cortar de una hoja de papel dividida de $6 \times 11$ en cuadrados unitarios (de tal manera que cada cruz conste de seis de tales cuadrados).

Se da un triángulo acutángulo $ABC$. Denotemos por $D$ y $E$ las proyecciones ortogonales, respectivamente, de los puntos $B$ y $C$ en la bisectriz del ángulo externo $BAC$. Sea $F$ el punto de intersección de las líneas $BE$ y $CD$. Demuestra que las líneas $AF$ y $DE$ son perpendiculares.

Se te da un arreglo de $2 \times 2$ con un entero positivo en cada campo. Si sumamos el producto de los números en la primera columna, el producto de los números en la segunda columna, el producto de los números en la primera fila y el producto de los números en la segunda fila, obtenemos $2021$. a) Encuentra los valores posibles para la suma de los cuatro números en la tabla. b) Encuentra el número de arreglos distintos que satisfacen las condiciones dadas que contienen cuatro números distintos por pares en los arreglos.

Cuatro segmentos dividen un cuadrilátero convexo en nueve cuadriláteros. Los puntos de intersección de estos segmentos se encuentran en las diagonales del cuadrilátero (ver figura). Se sabe que los cuadriláteros 1, 2, 3, 4 admiten círculos inscritos. Demuestre que el cuadrilátero 5 también tiene un círculo inscrito.

Sea $U=\{1, 2,\ldots, 2014\}$ . Para enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ denotamos por $f(a, b, c)$ el número de 6-tuplas ordenadas de conjuntos $(X_1,X_2,X_3,Y_1,Y_2,Y_3)$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $Y_1 \subseteq X_1 \subseteq U$ y $|X_1|=a$ ; (ii) $Y_2 \subseteq X_2 \subseteq U\setminus Y_1$ y $|X_2|=b$ ; (iii) $Y_3 \subseteq X_3 \subseteq U\setminus (Y_1\cup Y_2)$ y $|X_3|=c$ . Demuestre que $f(a,b,c)$ no cambia cuando $a$ , $b$ , $c$ se reordenan.

¿Existe un polinomio $P(x)$ con coeficientes integrales tal que $P(1+\sqrt 3) = 2+\sqrt 3$ y $P(3+\sqrt 5) = 3+\sqrt 5 $ ?

Se dan 100 enteros positivos diferentes. Llamamos a un par de números bueno si la razón de estos números es 2 o 3. ¿Cuál es el número máximo de pares buenos que estos 100 números pueden formar? (Un número puede usarse en varios pares).

¿Existe una función $f: \mathbb R \to \mathbb R $ que satisfaga las siguientes condiciones: (i) para cada $y$ real existe un $x$ real tal que $f(x)=y$ , y (ii) $f(f(x)) = (x - 1)f(x) + 2$ para todo $x$ real?

Los puntos $M$ , $N$ , $K$ se encuentran en los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ de un triángulo $ABC$ , respectivamente, y son diferentes de sus vértices. El triángulo $MNK$ se llama hermoso si $\angle BAC=\angle KMN$ y $\angle ABC=\angle KNM$ . Si en el triángulo $ABC$ hay dos triángulos hermosos con un vértice común, demuestre que el triángulo $ABC$ es rectángulo.