Sea $U=\{1, 2,\ldots, 2014\}$ . Para enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ denotamos por $f(a, b, c)$ el número de 6-tuplas ordenadas de conjuntos $(X_1,X_2,X_3,Y_1,Y_2,Y_3)$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $Y_1 \subseteq X_1 \subseteq U$ y $|X_1|=a$ ; (ii) $Y_2 \subseteq X_2 \subseteq U\setminus Y_1$ y $|X_2|=b$ ; (iii) $Y_3 \subseteq X_3 \subseteq U\setminus (Y_1\cup Y_2)$ y $|X_3|=c$ . Demuestre que $f(a,b,c)$ no cambia cuando $a$ , $b$ , $c$ se reordenan.

¿Existe un polinomio $P(x)$ con coeficientes integrales tal que $P(1+\sqrt 3) = 2+\sqrt 3$ y $P(3+\sqrt 5) = 3+\sqrt 5 $ ?

Se dan 100 enteros positivos diferentes. Llamamos a un par de números bueno si la razón de estos números es 2 o 3. ¿Cuál es el número máximo de pares buenos que estos 100 números pueden formar? (Un número puede usarse en varios pares).

¿Existe una función $f: \mathbb R \to \mathbb R $ que satisfaga las siguientes condiciones: (i) para cada $y$ real existe un $x$ real tal que $f(x)=y$ , y (ii) $f(f(x)) = (x - 1)f(x) + 2$ para todo $x$ real?

Los puntos $M$ , $N$ , $K$ se encuentran en los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ de un triángulo $ABC$ , respectivamente, y son diferentes de sus vértices. El triángulo $MNK$ se llama hermoso si $\angle BAC=\angle KMN$ y $\angle ABC=\angle KNM$ . Si en el triángulo $ABC$ hay dos triángulos hermosos con un vértice común, demuestre que el triángulo $ABC$ es rectángulo.

Sea $S$ el conjunto de puntos dentro de un triángulo equilátero dado $ABC$ con lado $1$ o en su frontera. Para cualquier $M \in S, a_M, b_M, c_M$ denotan las distancias desde $M$ a $BC,CA,AB$, respectivamente. Defina $f(M) = a_M^3 (b_M - c_M) + b_M^3(c_M - a_M) + c_M^3(a_M - b_M)$. (a) Describa el conjunto $\{M \in S | f(M) \geq 0\}$ geométricamente. (b) Encuentre los valores mínimo y máximo de $f(M)$ así como los puntos en los que se alcanzan.

Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que la representación decimal de $2000^N$ comienza con los dígitos $200120012001$.

Encuentre todos los enteros $n$ para los cuales el polinomio $p(x) = x^5 -nx -n -2$ puede ser representado como un producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

Sean $P$ y $Q$ puntos en un círculo $k$. Una cuerda $AC$ de $k$ pasa a través del punto medio $M$ de $PQ$. Considere un trapecio $ABCD$ inscrito en $k$ con $AB \parallel PQ \parallel CD$. Pruebe que el punto de intersección $X$ de $AD$ y $BC$ depende solo de $k$ y $P,Q$.

1 - Demuestra que $55 < (1+\sqrt{3})^4 < 56$ .\n2 - Encuentra la mayor potencia de $2$ que divide a $\lceil(1+\sqrt{3})^{2n}\rceil$ para el entero positivo $n$