Sea $\displaystyle G$ un grupo finito de $\displaystyle n$ elementos $\displaystyle ( n \geq 2 )$ y $\displaystyle p$ el factor primo más pequeño de $\displaystyle n$ . Si $\displaystyle G$ tiene sólo un subgrupo $\displaystyle H$ con $\displaystyle p$ elementos, entonces demostrar que $\displaystyle H$ está en el centro de $\displaystyle G$ . Nota. El centro de $\displaystyle G$ es el conjunto $\displaystyle Z(G) = \left\{ a \in G \left| ax=xa, \, \forall x \in G \right. \right\}$ .

Demostrar que \[ \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{\pi}{4} - n \int_0^1 \frac{x^n}{1+x^{2n}} \, dx \right) = \int_0^1 f(x) \, dx , \] donde $f(x) = \frac{\arctan x}{x}$ si $x \in \left( 0,1 \right]$ y $f(0)=1$ .

Sea $\displaystyle \mathcal K$ un campo finito. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) $\displaystyle 1+1=0$ ; (b) para todo $\displaystyle f \in \mathcal K \left[ X \right]$ con $\displaystyle \textrm{deg} \, f \geq 1$ , $\displaystyle f \left( X^2 \right)$ es reducible.

Sea $f: [0,\infty)\to\mathbb R$ una función tal que para cualquier $x>0$ la sucesión $\{f(nx)\}_{n\geq 0}$ es creciente. a) Si la función es también continua en $[0,1]$ ¿es cierto que $f$ es creciente? b) La misma pregunta si la función es continua en $\mathbb Q \cap [0, \infty)$ .

Tenemos en el plano el sistema de puntos $A_1,A_2,\ldots,A_n$ y $B_1,B_2,\ldots,B_n$ , que tienen diferentes centros de masa. Demostrar que existe un punto $P$ tal que \[ PA_1 + PA_2 + \ldots+ PA_n = PB_1 + PB_2 + \ldots + PB_n . \]

Definimos una pseudo-inversa $B\in \mathcal M_n(\mathbb C)$ de una matriz $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ una matriz que cumple las relaciones \[ A = ABA \quad \text{ y } \quad B=BAB. \] a) Demostrar que cualquier matriz cuadrada tiene al menos una pseudo-inversa. b) ¿Para qué matriz $A$ la pseudo-inversa es única?

Sea $A$ una matriz de $n\times n$ con elementos complejos y sea $A^\star$ la adjunta clásica de $A$ . Demostrar que si existe un entero positivo $m$ tal que $(A^\star)^m = 0_n$ entonces $(A^\star)^2 = 0_n$ .

Sea $\displaystyle n \in \mathbb N$ , $\displaystyle n \geq 2$ . Determinar $\displaystyle n$ conjuntos $\displaystyle A_i$ , $\displaystyle 1 \leq i \leq n$ , del plano, disjuntos dos a dos, tales que: (a) para toda circunferencia $\displaystyle \mathcal C$ del plano y para todo $\displaystyle i \in \left\{ 1,2,\ldots,n \right\}$ tenemos $\displaystyle A_i \cap \textrm{Int} \left( \mathcal C \right) \neq \phi$ ; (b) para todas las rectas $\displaystyle d$ del plano y todo $\displaystyle i \in \left\{ 1,2,\ldots,n \right\}$ , la proyección de $\displaystyle A_i$ sobre $\displaystyle d$ no es $\displaystyle d$ .

Demostrar que entre los elementos de la sucesión $\left( \left\lfloor n \sqrt 2 \right\rfloor + \left\lfloor n \sqrt 3 \right\rfloor \right)_{n \geq 0}$ hay una infinidad de números pares y una infinidad de números impares.

Demostrar que para todo $\displaystyle a,b \in \left( 0 ,\frac{\pi}{4} \right)$ y $\displaystyle n \in \mathbb N^\ast$ tenemos \[ \frac{\sin^n a + \sin^n b}{\left( \sin a + \sin b \right)^n} \geq \frac{\sin^n 2a + \sin^n 2b}{\left( \sin 2a + \sin 2b \right)^n} . \]