Hallar el número de pares $(a,b)$ de números naturales tales que $b$ es un número de 3 dígitos, $a+1$ divide a $b-1$ y $b$ divide a $a^{2} + a + 2$ .

Enteros positivos $a, b, c$ satisfacen $\frac{ab}{a - b} = c .$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $a+ b+ c$ que no excede $99$ ?

Un número natural $n$ se dice que es $bueno$ si $n$ es la suma de $r$ enteros positivos consecutivos, para algún $r \geq 2 $ . Hallar el número de números buenos en el conjunto $\{1,2 \dots , 100\}$ .

Un bicho viaja en el plano coordenado moviéndose sólo a lo largo de las líneas que son paralelas a los ejes $X$ e $Y$. Sean $A=(-3, 2)$ y $B = (3, -2)$ . Considere todos los caminos posibles del bicho de $A$ a $B$ . ¿Cuántos puntos de la retícula se encuentran en al menos uno de estos caminos?

En la figura de abajo, $4$ de los $6$ discos deben ser coloreados de negro y $2$ deben ser coloreados de blanco. Dos coloraciones que se pueden obtener una de la otra por rotación o reflexión de toda la figura se consideran iguales. Hay sólo cuatro de tales coloraciones para los dos colores dados, como se muestra. ¿De cuántas maneras podemos colorear los $6$ discos de tal manera que $2$ sean coloreados de negro, $2$ sean coloreados de blanco, $2$ sean coloreados de azul con la condición de identificación dada?

Para un entero positivo $n$ , sea $\langle n \rangle$ denote el entero cuadrado perfecto más cercano a $n$ . Por ejemplo, $\langle 74 \rangle = 81$ , $\langle 18 \rangle = 16$ . Si $N$ es el entero positivo más pequeño tal que $$ \langle 91 \rangle \cdot \langle 120 \rangle \cdot \langle 143 \rangle \cdot \langle 180 \rangle \cdot \langle N \rangle = 91 \cdot 120 \cdot 143 \cdot 180 \cdot N $$ hallar la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$ .

Una fuente de luz en el punto $(0, 16)$ en el plano coordenado proyecta luz en todas las direcciones. Un disco (círculo junto con su interior) de radio $2$ con centro en $(6, 10)$ proyecta una sombra en el eje X. La longitud de la sombra se puede escribir en la forma $m\sqrt{n}$ donde $m, n$ son enteros positivos y $n$ es libre de cuadrados. Hallar $m + n$ .

El incírculo $\Gamma$ de un triángulo escaleno $ABC$ toca $BC$ en $D, CA$ en $E$ y $AB$ en $F$ . Sea $r_A$ el radio del círculo dentro de $ABC$ que es tangente a $\Gamma$ y a los lados $AB$ y $AC$ . Defina $r_B$ y $r_C$ de manera similar. Si $r_A = 16, r_B = 25$ y $r_C = 36$ , determine el radio de $\Gamma$ .

En el triángulo $ABC$ , sean $P$ y $R$ los pies de las perpendiculares desde $A$ sobre las bisectrices externa e interna de $\angle ABC$ , respectivamente; y sean $Q$ y $S$ los pies de las perpendiculares desde $A$ sobre las bisectrices interna y externa de $\angle ACB$ , respectivamente. Si $PQ = 7, QR = 6$ y $RS = 8$ , ¿cuál es el área del triángulo $ABC$ ?

Se entrega una cantidad fija total de $N$ mil rupias a $A,B,C$ cada año, y cada uno recibe una cantidad proporcional a su edad. En el primer año, A obtuvo la mitad del monto total. Cuando se realizó el sexto pago, A obtuvo seis séptimos del monto que tenía en el primer año; B obtuvo 1000 rupias menos de lo que tenía en el primer año, y C obtuvo el doble de lo que tenía en el primer año. Hallar N.