Pruebe o refute que existe un entero que se duplica cuando el dígito inicial se transfiere al final.

Las longitudes de los lados de un triángulo son 6, 8 y 10 unidades. Demuestre que hay exactamente una línea recta que biseca simultáneamente el área y el perímetro del triángulo.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $AD$ la altura sobre $BC$, y sea $H$ cualquier punto interior en $AD$. Las líneas $BH,CH$, cuando se extienden, intersecan a $AC,AB$ en $E,F$ respectivamente. Demuestre que $\angle EDH=\angle FDH$.

Sea $AB$ un diámetro de un círculo $\Omega$ y $P$ cualquier punto que no esté en la línea que pasa por $AB$. Suponga que la línea que pasa por $PA$ corta a $\Omega$ nuevamente en $U$, y la línea que pasa por $PB$ corta a $\Omega$ en $V$. Tenga en cuenta que, en caso de tangencia, $U$ puede coincidir con $A$ o $V$ puede coincidir con $B$. Además, si $P$ está en $\Omega$ entonces $P=U=V$. Suponga que $|PU|=s|PA|$ y $|PV|=t|PB|$ para algunos $0\le s,t\in \mathbb{R}$. Determine $\cos \angle APB$ en términos de $s,t$.

$25$ hombres se sientan alrededor de una mesa circular. Cada hora hay una votación, y cada uno debe responder sí o no. Cada hombre se comporta de la siguiente manera: en la votación $n^{\text{th}}$, si su respuesta es la misma que la respuesta de al menos una de las dos personas entre las que se sienta, entonces responderá de la misma manera en la votación $(n+1)^{\text{th}}$ que en la votación $n^{\text{th}}$; pero si su respuesta es diferente de la de sus dos vecinos en la votación $n^{\text{th}}$, entonces su respuesta en la votación $(n+1)^{\text{th}}$ será diferente de su respuesta en la votación $n^{\text{th}}$. Demuestre que, como sea que todos hayan respondido en la primera votación, habrá un momento después del cual la respuesta de nadie cambiará jamás.

Demuestre que $(\sqrt{2}-1)^n$ $\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$ puede ser representado como $\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$ para algún $m\in \mathbb{Z}^{+}$ .

Evalúe $\sum_{n=1}^{1994}{\left((-1)^{n}\cdot\left(\frac{n^2 + n + 1}{n!}\right)\right)}$ .

Sean $P_0$ , $P_1$ , $P_2$ tres puntos en la circunferencia de un círculo con radio $1$ , donde $P_1P_2 = t < 2$ . Para cada $i \ge 3$ , define $P_i$ como el centro de la circunferencia circunscrita del $\triangle P_{i-1} P_{i-2} P_{i-3}$ .\n(1) Demuestra que los puntos $P_1, P_5, P_9, P_{13},\cdots$ son colineales.\n(2) Sea $x$ la distancia de $P_1$ a $P_{1001}$ , y sea $y$ la distancia de $P_{1001}$ a $P_{2001}$ . Determina todos los valores de $t$ para los cuales $\sqrt[500]{ \frac xy}$ es un entero.

Sea $n$ un entero positivo. A Nancy se le da una tabla rectangular en la que cada entrada es un entero positivo. Se le permite hacer cualquiera de los siguientes dos movimientos:\n(1) seleccionar una fila y multiplicar cada entrada en esta fila por $n$ ;\n(2) seleccionar una columna y restar $n$ de cada entrada en esta columna.\nEncuentra todos los valores posibles de $n$ para los cuales la siguiente afirmación es verdadera: Dada cualquier tabla rectangular, es posible para Nancy realizar una secuencia finita de movimientos para crear una tabla en la que cada entrada es $0$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $AC > AB$ . Sea $P$ el punto de intersección de la bisectriz perpendicular de $BC$ y la bisectriz interna del ángulo $\angle{A}$ . Construye puntos $X$ en $AB$ (extendido) e $Y$ en $AC$ tales que $PX$ sea perpendicular a $AB$ e $PY$ sea perpendicular a $AC$ . Sea $Z$ el punto de intersección de $XY$ y $BC$ . Determina el valor de $\frac{BZ}{ZC}$ .