Sean $m$ y $n$ enteros positivos impares. Cada cuadrado de un tablero de $m$ por $n$ se colorea de rojo o azul. Se dice que una fila está dominada por el rojo si hay más cuadrados rojos que azules en la fila. Se dice que una columna está dominada por el azul si hay más cuadrados azules que rojos en la columna. Determine el valor máximo posible del número de filas dominadas por el rojo más el número de columnas dominadas por el azul. Exprese su respuesta en términos de $m$ y $n$.

Sean $a_1,a_2,\dots,a_n$ números reales positivos cuyo producto es $1$. Demuestre que la suma $\textstyle\frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{(1+a_1)(1+a_2)}+\frac{a_3}{(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)}+\cdots+\frac{a_n}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)}$ es mayor o igual a $\frac{2^n-1}{2^n}$.

Escriba la suma $\sum_{i=0}^{n}{\frac{(-1)^i\cdot\binom{n}{i}}{i^3 +9i^2 +26i +24}}$ como la razón de dos polinomios definidos explícitamente con coeficientes enteros.

El punto $O$ está situado dentro del paralelogramo $ABCD$ tal que $\angle AOB+\angle COD=180^{\circ}$ . Pruebe que $\angle OBC=\angle ODC$ .

Pruebe que $\frac{1}{1999}< \prod_{i=1}^{999}{\frac{2i-1}{2i}}<\frac{1}{44}$ .

El intervalo cerrado $A = [0, 50]$ es la unión de un número finito de intervalos cerrados, cada uno de longitud $1$ . Pruebe que algunos de los intervalos pueden ser removidos de modo que los restantes sean mutuamente disjuntos y tengan longitud total mayor que $25$ . Nota: Para reales $a\le b$ , el intervalo cerrado $[a, b] := \{x\in \mathbb{R}:a\le x\le b\}$ tiene longitud $b-a$ ; intervalos disjuntos tienen intersección vacía.

Determine el número de pares de enteros positivos $x,y$ tales que $x\le y$ , $\gcd (x,y)=5!$ y $\text{lcm}(x,y)=50!$ .

Sea $1 < x_1 < 2$ y, para $n = 1$, 2, $\dots$, defina $x_{n + 1} = 1 + x_n - \frac{1}{2} x_n^2$. Pruebe que, para $n \ge 3$, $|x_n - \sqrt{2}| < 2^{-n}$.

Pruebe que $2^{n - 1}$ divide a $n!$ si y solo si $n = 2^{k - 1}$ para algún entero positivo $k$.

Sean $P_1$ y $P_2$ polígonos regulares de 1985 lados y perímetros $x$ e $y$ respectivamente. Cada lado de $P_1$ es tangente a un círculo dado de circunferencia $c$ y este círculo pasa por cada vértice de $P_2$. Pruebe que $x + y \ge 2c$. (Puede asumir que $\tan \theta \ge \theta$ para $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ .)