Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Inscriba un rectángulo $DEFG$ en este triángulo tal que $D\in AB,E\in AC,F\in BC,G\in BC$ . Describa el lugar geométrico de (es decir, la curva ocupada por) las intersecciones de las diagonales de todos los rectángulos $DEFG$ posibles.

Sea $ f(n,k)$ el número de formas de distribuir $ k$ caramelos a $ n$ niños de manera que cada niño reciba a lo sumo $ 2$ caramelos. Por ejemplo $ f(3,7) = 0,f(3,6) = 1,f(3,4) = 6$ . Determine el valor de $ f(2006,1) + f(2006,4) + \ldots + f(2006,1000) + f(2006,1003) + \ldots + f(2006,4012)$ .

Sean $r_1$ , $r_2$ , $\ldots$ , $r_m$ un conjunto dado de $m$ números racionales positivos tales que $\sum_{k=1}^m r_k = 1$ . Defina la función $f$ por $f(n)= n-\sum_{k=1}^m \: [r_k n]$ para cada entero positivo $n$ . Determine los valores mínimo y máximo de $f(n)$ . Aquí ${\ [ x ]}$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ .

Sea el triángulo $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$ . Suponga que la bisectriz del ángulo $\angle B$ se encuentra con el lado $AC$ en un punto $D$ y que $BC = BD+AD$ . Determine $\angle A$ .

Denotamos una permutación arbitraria de los enteros $1$ , $2$ , $\ldots$ , $n$ por $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ . Sea $f(n)$ denota el número de estas permutaciones tales que: (1) $a_1 = 1$ ; (2) : $|a_i - a_{i+1}| \leq 2$ , $i = 1, \ldots, n - 1$ . Determine si $f(1996)$ es divisible por 3.

Encuentre todas las soluciones reales al siguiente sistema de ecuaciones. Justifique cuidadosamente su respuesta. \[ \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle\frac{4x^2}{1+4x^2} = y \\ \\ \displaystyle\frac{4y^2}{1+4y^2} = z \\ \\ \displaystyle\frac{4z^2}{1+4z^2} = x \end{array} \right. \]

Si $\alpha$ , $\beta$ , y $\gamma$ son las raíces de $x^3 - x - 1 = 0$ , calcule $\frac{1+\alpha}{1-\alpha} + \frac{1+\beta}{1-\beta} + \frac{1+\gamma}{1-\gamma}$ .

Fije enteros positivos $n$ y $k\ge 2$. Una lista de $n$ enteros está escrita en una fila en una pizarra. Puede elegir un bloque contiguo de enteros, y yo agregaré $1$ a todos ellos o restaré $1$ de todos ellos. Puede repetir este paso tan a menudo como quiera, posiblemente adaptando sus selecciones en función de lo que hago. Demuestre que después de un número finito de pasos, puede llegar a un estado en el que al menos $n-k+2$ de los números en la pizarra son todos simultáneamente divisibles por $k$.

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo. El punto $P$ se encuentra en el interior de $ABCD$, y $\angle P AB = \angle P BC = \angle P CD = \angle P DA$. Las líneas $AD$ y $BC$ se encuentran en $Q$, y las líneas $AB$ y $CD$ se encuentran en $R$. Demuestre que las líneas $P Q$ y $P R$ forman el mismo ángulo que las diagonales de $ABCD$.

Sea $p$ un primo impar fijo. Una $p$-tupla $(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p)$ de enteros se dice que es buena si (i) $0\le a_i\le p-1$ para todo $i$, y (ii) $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_p$ no es divisible por $p$, y (iii) $a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_pa_1$ es divisible por $p$. Determine el número de $p$-tuplas buenas.