Determine todos los pares ordenados $(a,p)$ de enteros positivos, con $p$ primo, tales que $p^a+a^4$ es un cuadrado perfecto.

Sea $A{}$ un punto en el plano cartesiano. En cada paso, Ann le dice a Bob un número $0\leqslant a\leqslant 1$ y luego él mueve $A{}$ en una de las cuatro direcciones cardinales, a su elección, a una distancia de $a{}.$ Este proceso continúa mientras Ann lo desee. Entre cada 100 movimientos consecutivos, cada uno de los cuatro movimientos posibles debe haberse realizado al menos una vez. El objetivo de Ann es obligar a Bob a elegir eventualmente un punto a una distancia mayor que 100 de la posición inicial de $A.{}$ ¿Puede Ann lograr su objetivo?

Sea $n{}$ un entero positivo y sean $a{}$ y $b{}$ enteros positivos congruentes con 1 módulo 4. Demuestre que existe un entero positivo $k{}$ tal que al menos uno de los números $a^k-b$ y $b^k-a$ es divisible por $2^n.$

Sea $n\geqslant 2$ un entero fijo. Considere $n$ números reales $a_1,a_2,\ldots,a_n$ no todos iguales y sea \[d:=\max_{1\leqslant i<j\leqslant n}|a_i-a_j|;\qquad s=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}|a_i-a_j|.\] Determine en términos de $n{}$ los valores más pequeños y más grandes que puede alcanzar el cociente $s/d$.

Sean $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $\angle BAD < \angle ADC$ . Sea $M$ el punto medio del arco $CD$ que no contiene a $A$ . Suponga que hay un punto $P$ dentro de $ABCD$ tal que $\angle ADB = \angle CPD$ y $\angle ADP = \angle PCB$ . Demuestre que las líneas $AD, PM$ y $BC$ son concurrentes.

Sean $r,g,b$ enteros no negativos y $\Gamma$ un grafo conexo con $r+g+b+1$ vértices. Sus aristas están coloreadas en rojo, verde y azul. Resultó que $\Gamma $ contiene un árbol de expansión con exactamente $r$ aristas rojas. Un árbol de expansión con exactamente $g$ aristas verdes. Un árbol de expansión con exactamente $b$ aristas azules. Pruebe que $\Gamma$ contiene un árbol de expansión con exactamente $r$ aristas rojas, $g$ aristas verdes y $b$ aristas azules.

Sean $P,Q,R,S$ polinomios no constantes con coeficientes reales, tales que $P(Q(x))=R(S(x)) $ y el grado de $P$ es múltiplo del grado de $R. $ Pruebe que existe un polinomio $T$ con coeficientes reales tal que $$\displaystyle P(x)=R(T(x))$$

Se da un triángulo acutángulo $ABC$ y sean $H$ y $O$ su ortocentro y circuncentro respectivamente. Sea $K$ el punto medio de $AH$ y $\ell$ sea una línea que pasa por $O. $ Sean $P$ y $Q$ las proyecciones de $B$ y $C$ sobre $\ell. $ Pruebe que $$KP+KQ\ge BC$$

Sea $n\geq 2$ un entero y sea $f$ un polinomio de $4n$ variables con coeficientes reales. Asuma que, para cualquier $2n$ puntos $(x_1,y_1),\dots,(x_{2n},y_{2n})$ en el plano cartesiano, $f(x_1,y_1,\dots,x_{2n},y_{2n})=0$ si y sólo si los puntos forman los vértices de un $2n$ - gono regular en algún orden, o son todos iguales. Determine el grado posible más pequeño de $f$ . (Note, por ejemplo, que el grado del polinomio $$g(x,y)=4x^3y^4+yx+x-2$$ es $7$ porque $7=3+4$ . )

Fije un entero $n \geq 3$ . Sea $\mathcal{S}$ un conjunto de $n$ puntos en el plano, no tres de los cuales son colineales. Dados diferentes puntos $A,B,C$ en $\mathcal{S}$ , el triángulo $ABC$ es bueno para $AB$ si $[ABC] \leq [ABX]$ para todo $X$ en $\mathcal{S}$ diferente de $A$ y $B$ . (Note que para un segmento $AB$ podría haber varios triángulos buenos). Un triángulo es hermoso si sus vértices están todos en $\mathcal{S}$ y es bueno para al menos dos de sus lados. Pruebe que hay al menos $\frac{1}{2}(n-1)$ triángulos hermosos.