Determine todos los números primos $p$ y todos los enteros positivos $x$ e $y$ que satisfacen $$x^3+y^3=p(xy+p).$$

Sea $n\geqslant 2$ un entero y $A$ un conjunto de $n$ puntos en el plano. Encontrar todos los enteros $1\leqslant k\leqslant n-1$ con la siguiente propiedad: cualesquiera dos círculos $C_1$ y $C_2$ en el plano tales que $A\cap\text{Int}(C_1)\neq A\cap\text{Int}(C_2)$ y $|A\cap\text{Int}(C_1)|=|A\cap\text{Int}(C_2)|=k$ tienen al menos un punto en común.

Versión 1. Encontrar todos los primos $p$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $\frac{p+1}{2}$ es un número primo. (ii) Hay al menos tres enteros positivos distintos $n$ para los cuales $\frac{p^2+n}{p+n^2}$ es un entero. Versión 2. Sea $p \neq 5$ un número primo tal que $\frac{p+1}{2}$ también es un primo. Suponga que existen enteros positivos $a <b$ tales que $\frac{p^2+a}{p+a^2}$ y $\frac{p^2+b}{p+b^2}$ son enteros. Mostrar que $b=(a-1)^2+1$

Sea $ABC$ un triángulo escaleno, con circunferencia circunscrita $\omega$ e incentro $I.$ La línea tangente en $C$ a $\omega$ interseca la línea $AB$ en $D.$ La bisectriz del ángulo $BDC$ se encuentra con $BI$ en $P$ y $AI$ en $Q.$ Sea $M$ el punto medio del segmento $PQ.$ Probar que la línea $IM$ pasa por el medio del arco $ACB$ de $\omega.$

Sea $n\geqslant 3$ un entero y $a_1,a_2,\ldots,a_n$ sean números reales positivos distintos por parejas con la propiedad de que existe una permutación $b_1,b_2,\ldots,b_n$ de estos números tal que $$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}\neq 1.$$ Probar que existen $a,b>0$ tales que $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}=\{ab,ab^2,\ldots,ab^n\}.$

Sea $n\geqslant 3$ un entero positivo y $N=\{1,2,\ldots,n\}$ y sea $k>0$ un número real. Asociemos cada subconjunto no vacío de $N$ con un punto en el plano, de modo que dos subconjuntos distintos correspondan a puntos diferentes. Si el valor absoluto de la diferencia entre las medias aritméticas de los elementos de dos subconjuntos no vacíos distintos de $N$ es a lo sumo $k$ conectamos los puntos asociados con estos subconjuntos con un segmento. Determinar el valor mínimo de $k$ tal que los puntos asociados con dos subconjuntos no vacíos distintos cualesquiera de $N$ estén conectados por un segmento o una línea quebrada.

Sea $\sigma(\cdot)$ denota la función suma de divisores y $d(\cdot)$ denota la función de conteo de divisores. Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que $\sigma(d(n))=n.$

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y $\omega$ su circunferencia circunscrita. La línea tangente a $\omega$ en $A$ interseca la línea $BC$ en $D$ y sea $E$ un punto en $\omega$ tal que $BE$ es paralelo a $AD$ . $DE$ interseca el segmento $AB$ y $\omega$ en $F$ y $G$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita de $BGF$ interseca $BE$ en $N$ . La línea $NF$ interseca las líneas $AD$ y $EA$ en $S$ y $T$ , respectivamente. Probar que $DGST$ es cíclico.

Para números reales positivos $x,y,z$ con $xy+yz+zx=1$ , probar que $$\frac{2}{xyz}+9xyz \geq 7(x+y+z)$$

Sea $n\geqslant 2$ un entero. Un tablero de dardos galés es un disco dividido en $2n$ sectores iguales, la mitad de ellos son rojos y la otra mitad son blancos. Dos tableros de dardos galeses se emparejan si tienen el mismo radio y se superponen de modo que cada sector del primer tablero quede exactamente sobre un sector del segundo tablero. Suponga que dos tableros de dardos galeses dados pueden emparejarse de modo que más de la mitad de los pares de sectores superpuestos tengan colores diferentes. Probar que estos tableros de dardos galeses pueden emparejarse de modo que al menos $2\lfloor n/2\rfloor +2$ pares de sectores superpuestos tengan el mismo color.