En el exterior del triángulo acutángulo $ABC$ construimos los triángulos isósceles $DAB$ y $EAC$ con bases $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $\angle DBC=\angle ECB=90^\circ.$ Sean $M$ y $N$ las reflexiones de $A$ con respecto a $D$ y $E$ respectivamente. Probar que la línea $MN$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC.$

Para cualquier entero positivo $n$ definir $a_n=\{n/s(n)\}$ donde $s(\cdot)$ denota la suma de los dígitos y $\{\cdot\}$ denota la parte fraccionaria. Probar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $a_n=1/2.$ Determinar el entero positivo más pequeño $n$ tal que $a_n=1/6.$

Los enteros del 1 al 49 están escritos en una tabla de $7\times 7$, tal que para cualquier $k\in\{1,2,\ldots,7\}$ el producto de los números en la $k$ - ésima fila es igual al producto de los números en la $(8-k)$ - ésima fila. Probar que existe una fila tal que la suma de los números escritos en ella es un número primo. Dar un ejemplo de tal tabla.

Un triángulo de tipo $n$ donde $n\geqslant 2$ está formado por las celdas de un tablero de $(2n+1)\times(2n+1)$, situado bajo ambas diagonales principales. Por ejemplo, un triángulo de tipo $3$ se ve así: https://i.ibb.co/k4fmwWY/Screenshot-2024-07-31-153932.png Determinar la longitud máxima de una secuencia con celdas distintas por parejas en un triángulo de tipo $n$, tal que, comenzando con la segunda, cualquier celda de la secuencia tiene un lado en común con la anterior.

Sea $ABC$ un triángulo. Un círculo arbitrario que pasa por los puntos $B,C$ interseca los lados $AC,AB$ por segunda vez en $D,E$ respectivamente. La línea $BD$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $AEC$ en $P$ y $Q$ y la línea $CE$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ en $R$ y $S$ tal que $P$ está situado en el segmento $BD$ y $R$ está en el segmento $CE.$ Probar que: Los puntos $P,Q,R$ y $S$ son concíclicos. El triángulo $APQ$ es isósceles.

Determinar todos los enteros positivos $a,b,c,d,e,f$ que satisfacen la siguiente condición: para cualesquiera dos de ellos, $x$ e $y,$ dos de los números restantes, $z$ y $t,$ satisfacen $x/y=z/t.$

Sea $M$ el punto medio del lado $AD$ del cuadrado $ABCD.$ Considerar los triángulos equiláteros $DFM$ y $BFE$ tales que $F$ está en el interior de $ABCD$ y las líneas $EF$ y $BC$ son concurrentes. Denotar por $P$ el punto medio de $ME.$ Probar que: El punto $P$ está en la línea $AC.$ La semirrecta $PM$ es la bisectriz del ángulo $APF.$

Encontrar todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que $(7^a-5^b)/8$ es un número primo.

Sea $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ una función diferenciable tal que $f(0)=f(1)=0$ y $|f'(x)|\le 1,\ \forall x\in [0,1]$ . Demostrar que: $$\left|\int_0 ^1f(t)dt\right|<\frac{1}{4}$$

Sea $G$ un grupo de $n$ elementos. Encontrar todas las funciones $f:G\rightarrow \mathbb{N}^*$ tales que: (a) $f(x)=1$ si y solo si $x$ es la identidad de $G$ ; (b) $f(x^k)=\frac{f(x)}{(f(x),k)}$ para cualquier divisor $k$ de $n$ , donde $(r,s)$ representa el máximo común divisor de los enteros positivos $r$ y $s$ .