Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo de 9 elementos. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) Para cualquier $x\in A\setminus\{0\}$ existen dos números $a\in \{-1,0,1\}$ y $b\in \{-1,1\}$ tales que $x^2+ax+b=0$ . (b) $(A,+,\cdot)$ es un campo.

Sean $a,b,c$ tres números reales positivos distintos. Evaluar: $$\lim_{t\to \infty} \int_0^t \frac{1}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)(x^2+c^2)}dx$$

Una función $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ tiene la propiedad $ \mathcal{F} , $ si para cualquier número real $ a, $ existe un $ b<a $ tal que $ f(x)\le f(a), $ para todo $ x\in (b,a) . $ a) Dar un ejemplo de una función con la propiedad $ \mathcal{F} $ que no es monótona en $ \mathbb{R} . $ b) Demostrar que una función continua que tiene la propiedad $ \mathcal{F} $ es no decreciente.

Sea un número natural $ n, $ y dos matrices $ A,B\in\mathcal{M}_n\left(\mathbb{C}\right) $ con la propiedad de que $$ AB^2=A-B. $$ a) Mostrar que la matriz $ I_n+B $ es inversible. b) Mostrar que $ AB=BA. $

Sean $ A,B\in\mathcal{M} \left( \mathbb{R} \right) $ que satisfacen $ AB=O_3. $ Demostrar que: a) La función $ f:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C} $ definida como $ f(x)=\det \left( A^2+B^2+xBA \right) $ es un polinomio, de grado a lo sumo $ 2. $ b) $ \det\left( A^2+B^2 \right)\ge 0. $

Considerar la secuencia $ \left( x_n \right)_{n\ge 1} $ teniendo $ x_1>1 $ y satisfaciendo la ecuación $$ x_1+x_2+\cdots +x_{n+1} =x_1x_2\cdots x_{n+1} ,\quad\forall n\in\mathbb{N} . $$ Mostrar que esta secuencia es convergente y encontrar su límite.

Para todos los números naturales impares $ n, $ demostrar que $$ \left|\sum_{j=0}^{n-1} (a+ib)^j\right|\in\mathbb{Q} , $$ donde $ a,b\in\mathbb{Q} $ son dos números tales que $ 1=a^2+b^2. $

Sea una secuencia de números naturales $ \left( a_n \right)_{n\ge 1} $ tal que $ a_n\le n $ para todos los números naturales $ n, $ y $$ \sum_{j=1}^{k-1} \cos \frac{\pi a_j}{k} =0, $$ para todo $ k\ge 2. $ a) Encontrar $ a_2. $ b) Determinar esta secuencia.

a) Resolver en $ \mathbb{R} $ la ecuación $ 2^x=x+1. $ b) Si una función $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ tiene la propiedad de que $$ (f\circ f)(x)=2^x-1,\quad\forall x\in\mathbb{R} , $$ entonces $ f(0)+f(1)=1. $

Sea $ f:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ una función con la propiedad de que $$ |f(x)-f(y)|\le |\sin x-\sin y|,$$ para todo $x,y \in [0,\infty).$ Demostrar que $f$ es acotada y periódica, y la función $g:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $g(x)=x+f(x)$ es monótona.