Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos tales que $$a^2+ab+ac-bc = 0.$$ a) Demostrar que si dos de los números $a, b$ y $c$ son iguales, entonces al menos uno de los números $a, b$ y $c$ es irracional. b) Demostrar que existen infinitos triples $(m, n, p)$ de enteros positivos tales que $$m^2 + mn + mp -np = 0.$$

Sean $a_1, a_2, ... , a_{2012}$ enteros positivos impares. Demostrar que el número $$A=\sqrt{a^2_1+ a^2_2+ ...+ a^2_{2012}-1}$$ es irracional.

Sea $ \mathcal{P}$ un cuadrado y sea $ n$ un entero positivo no nulo para el cual denotamos por $ f(n)$ el número máximo de elementos de una partición de $ \mathcal{P}$ en rectángulos tal que cada línea que es paralela a algún lado de $ \mathcal{P}$ interseca a lo sumo $ n$ interiores (de rectángulos). Demuestra que \[ 3 \cdot 2^{n-1} - 2 \le f(n) \le 3^n - 2.\]

Sea $ ABC$ un triángulo y sean $ \mathcal{M}_{a}$ , $ \mathcal{M}_{b}$ , $ \mathcal{M}_{c}$ los círculos que tienen como diámetros las medianas $ m_{a}$ , $ m_{b}$ , $ m_{c}$ del triángulo $ ABC$ , respectivamente. Si dos de estos tres círculos son tangentes a la circunferencia inscrita de $ ABC$ , demuestre que el tercero también es tangente.

Sea $ n$ un entero positivo no nulo. Encuentra $ n$ tal que exista una permutación $ \sigma \in S_{n}$ tal que \[ \left| \{ |\sigma(k) - k| \ : \ k \in \overline{1, n} \}\right | = n.\]

Sea $ n \geq 3$ un entero positivo y sea $ m \geq 2^{n-1}+1$ . Demuestra que para cada familia de subconjuntos distintos no nulos $ (A_j)_{j \in \overline{1, m}}$ de $ \{1, 2, ..., n\}$ existen $ i$ , $ j$ , $ k$ tales que $ A_i \cup A_j = A_k$ .

Sean $ m, n \geq 1$ dos enteros coprimos y sea también $ s$ un entero arbitrario. Determina el número de subconjuntos $ A$ de $ \{1, 2, ..., m + n - 1\}$ tales que $ |A| = m$ y $ \sum_{x \in A} x \equiv s \pmod{n}$ .

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $ O \in AC \cap BD$ , $ P \in AB \cap CD$ , $ Q \in BC \cap DA$ . Si $ R$ es la proyección ortogonal de $ O$ en la línea $ PQ$ demuestra que las proyecciones ortogonales de $ R$ en las líneas laterales de $ ABCD$ son concíclicas.

Sea $ n$ un entero positivo no nulo. Un conjunto de personas se llama un conjunto $ n$ - balanceado si en cualquier subconjunto de $ 3$ personas existen al menos dos que se conocen entre sí y en cada subconjunto de $ n$ personas hay dos que no se conocen entre sí. Demuestra que un conjunto $ n$ - balanceado tiene como máximo $ (n - 1)(n + 2)/2$ personas.

Sean $ m,\ n \geq 3$ enteros impares positivos. Demuestra que $ 2^{m}-1$ no divide a $ 3^{n}-1$ .