Sean $ a,b,c\in (0,1)$ y $ x,y,z\in (0, + \infty)$ seis números reales tales que \[ a^x = bc , \quad b^y = ca , \quad c^z = ab .\] Demuestra que \[ \frac 1{2 + x} + \frac 1{2 + y} + \frac 1{2 + z} \leq \frac 34 .\]

Para cada entero positivo $n\geq 2$ denotamos con $p(n)$ el número primo más grande menor o igual que $n$ , y con $q(n)$ el número primo más pequeño mayor que $n$ . Demuestra que \[ \sum^n_{k=2} \frac 1{p(k)q(k)} < \frac 12. \]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, $M$ el punto medio de $AB$ , $N$ el punto medio de $BC$ , $E$ la intersección de los segmentos $AN$ y $BD$ , $F$ la intersección de los segmentos $DM$ y $AC$ . Demuestra que si $BE = \frac 13 BD$ y $AF = \frac 13 AC$ , entonces $ABCD$ es un paralelogramo.

Un arreglo de $9\times 9$ está lleno de enteros del 1 al 81. Demuestra que existe $k\in\{1,2,3,\ldots, 9\}$ tal que el producto de los elementos en la fila $k$ es diferente del producto de los elementos en la columna $k$ del arreglo.

Sean $x,y,z$ números reales positivos. Demuestra la siguiente desigualdad: \[ \frac 1{x^2+yz} + \frac 1{y^2+zx } + \frac 1{z^2+xy} \leq \frac 12 \left( \frac 1{xy} + \frac 1{yz} + \frac 1{zx} \right). \]

a) Demuestra que podemos asignar uno de los números $1$ o $-1$ a los vértices de un cubo tal que el producto de los números asignados a los vértices de cualquier cara es igual a $-1$ . b) Demuestra que para un prisma hexagonal tal mapeo no es posible.

Demuestra que existe una infinidad de números irracionales $x,y$ tales que el número $x+y=xy$ es un entero no negativo.

Para un entero positivo $n$ denotamos por $u(n)$ el número primo más grande menor o igual que $n$ , y con $v(n)$ el número primo más pequeño mayor que $n$ . Demuestra que \[ \frac 1 {u(2)v(2)} + \frac 1{u(3)v(3)} + \cdots + \frac 1{ u(2010)v(2010)} = \frac 12 - \frac 1{2011}. \]

En el plano del triángulo $ABC$ con $\angle BAC = 90^\circ$ elevamos líneas perpendiculares en $A$ y $B$ , en el mismo lado del plano. En estas dos líneas perpendiculares consideramos los puntos $M$ y $N$ respectivamente tales que $BN < AM$ . Sabiendo que $AC = 2a$ , $AB = a\sqrt 3$ , $AM=a$ y que el plano $MNC$ forma un ángulo de $30^\circ$ con el plano $ABC$ encuentra a) el área del triángulo $MNC$ ; b) la distancia desde $B$ al plano $MNC$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ . Sea $D$ el punto medio de $BC$ , $M$ el punto medio de $AD$ y $N$ el pie de la perpendicular desde $D$ a $BM$ . Demuestra que $\angle ANC = 90^\circ$ .