Sea $n$ un entero no negativo. Encuentre todos los enteros no negativos $a,b,c,d$ tales que \[a^2+b^2+c^2+d^2=7\cdot 4^n\]

Determine todos los enteros positivos de la forma $a<b<c<d$ con la propiedad de que cada uno de ellos divide la suma de los otros tres.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en el círculo $O$. Para un punto $E\in O$, se consideran sus proyecciones $K,L,M,N$ sobre las rectas $DA,AB,BC,CD$, respectivamente. Pruebe que si $N$ es el ortocentro del triángulo $KLM$ para algún punto $E$, diferente de $A,B,C,D$, entonces esto se cumple para todo punto $E$ del círculo.

Sea $A$ un subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ con la propiedad de que para cada número real $x,y$, si $x+y\in A$ entonces $xy\in A$. Pruebe que $A=\mathbb{R}$.

Sea $ABCD$ un rectángulo. Consideramos los puntos $E\in CA,F\in AB,G\in BC$ tales que $DC\perp CA,EF\perp AB$ y $EG\perp BC$. Resuelva en el conjunto de los números racionales la ecuación $AC^x=EF^x+EG^x$.

Tres estudiantes escriben en la pizarra uno al lado del otro tres cuadrados de dos dígitos. Al final, observan que el número de 6 dígitos así obtenido también es un cuadrado. ¡Encuentra este número!

En el interior de un círculo centrado en $O$ considere los $1200$ puntos $A_1,A_2,\ldots ,A_{1200}$, donde para cada $i,j$ con $1\le i\le j\le 1200$, los puntos $O,A_i$ y $A_j$ no son colineales. Pruebe que existen los puntos $M$ y $N$ en el círculo, con $\angle MON=30^{\circ}$, tales que en el interior del ángulo $\angle MON$ se encuentran exactamente $100$ puntos.

Encuentre todos los $n\in\mathbb{Z}$ tales que el número $\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}$ es racional.

Sea $ABC$ un triángulo arbitrario. Un círculo pasa por $B$ y $C$ e interseca las rectas $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Las proyecciones de los puntos $B$ y $E$ sobre $CD$ se denotan por $B'$ y $E'$, respectivamente. Las proyecciones de los puntos $D$ y $C$ sobre $BE$ se denotan por $D'$ y $C'$, respectivamente. Pruebe que los puntos $B',D',E'$ y $C'$ están en el mismo círculo.

Se dan los conjuntos finitos $A_1$ , $A_2$ , $\ldots$ , $A_n$ y denotamos por $d(n)$ el número de elementos que aparecen exactamente en un número impar de conjuntos elegidos de $A_1$ , $A_2$ , $\ldots$ , $A_n$ . Pruebe que para cualquier $k$ , $1\leq k\leq n$ el número \[{ d(n) - \sum\limits^n_{i=1} |A_i| + 2\sum\limits_{ i<j} |A_i \cap A_j | - \cdots + (-1)^k2^{k-1} \sum\limits_{i_1 <i_2 <\cdots < i_k} | A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k}|} \] es divisible por $2^k$ .