Sea $[a,b]$ un intervalo dado de números reales que no contiene enteros. Pruebe que existe $N>0$ tal que $[Na,Nb]$ no contiene números enteros y la longitud del intervalo $[Na,Nb]$ excede $\dfrac 16$ .

Sea $\Delta$ el conjunto de todos los triángulos en un plano. Considere la función $f: \Delta\to(0,\infty)$ definida por $f(ABC) = \min \left( \dfrac ba, \dfrac cb \right)$ , para cualquier triángulo $ABC$ con $BC=a\leq CA=b\leq AB = c$ . Encuentre el conjunto de valores de $f$ .

Sean $x,y,z$ números reales con $x+y+z=0$ . Pruebe que \[ |\cos x |+ |\cos y| +| \cos z | \geq 1 . \]

Sea $a$ un entero positivo. La secuencia $\{x_n\}_{n\geq 1}$ se define por $x_1=1$ , $x_2=a$ y $x_{n+2} = ax_{n+1} + x_n$ para todo $n\geq 1$ . Pruebe que $(y,x)$ es una solución de la ecuación \[ |y^2 - axy - x^2 | = 1 \] si y solo si existe un rango $k$ tal que $(y,x)=(x_{k+1},x_k)$ .

Sea $ p > 2$ un número primo. Encuentre el menor número positivo $ a$ que se puede representar como \[ a = (X - 1)f(X) + (X^{p - 1} + X^{p - 2} + \cdots + X + 1)g(X), \] donde $ f(X)$ y $ g(X)$ son polinomios enteros.

Los cuatro vértices de un cuadrado son los centros de cuatro círculos tales que la suma de sus áreas es igual al área del cuadrado. Tome un punto arbitrario en el interior de cada círculo. Pruebe que los cuatro puntos arbitrarios son los vértices de un cuadrilátero convexo.

Pruebe que para todos los enteros positivos $n\geq 1$ el número $\prod^n_{k=1} k^{2k-n-1}$ es también un número entero.

Se da el entero positivo $n$ y para todos los enteros positivos $k$ , $1\leq k\leq n$ , denotamos por $a_{kn}$ el número de todas las secuencias ordenadas $(i_1,i_2,\ldots,i_k)$ de enteros positivos que verifican las siguientes dos condiciones: a) $1\leq i_1<i_2< \cdots i_k \leq n$ ; b) $i_{r+1}-i_r \equiv 1 \pmod 2$ , para todo $r \in\{1,2,\ldots,k-1\}$ . Calcule el número $a(n) = \sum\limits_{k=1}^n a_{kn}$ .

En el plano se dan las líneas $\ell_1$ , $\ell_2$ , el círculo $\mathcal{C}$ con su centro en la línea $\ell_1$ y un segundo círculo $\mathcal{C}_1$ que es tangente a $\ell_1$ , $\ell_2$ y $\mathcal{C}$ . Encuentre el lugar geométrico del punto tangente entre $\mathcal{C}$ y $\mathcal{C}_1$ mientras que el centro de $\mathcal{C}$ es variable en $\ell_1$ .

Las celdas de un tablero de ajedrez de $11\times 11$ se colorean en 3 colores. Pruebe que existe en el tablero un rectángulo de $m\times n$ tal que las cuatro celdas interiores al rectángulo y que contienen los cuatro vértices del rectángulo tienen el mismo color.