1 Llamamos al entero positivo $n$ un número $3-$ estratificado si podemos dividir el conjunto de sus divisores positivos en $3$ subconjuntos tales que la suma de cada subconjunto sea igual a la de los demás. $a)$ Encuentra un número $3-$ estratificado. $b)$ Demuestra que hay infinitos números $3-$ estratificados.

2 En un pueblo, hay $n$ casas con $n>2$ y todas ellas no son colineales. Queremos generar un recurso de agua en el pueblo. Para hacer esto, el punto $A$ es mejor que el punto $B$ si la suma de las distancias desde el punto $A$ a las casas es menor que la suma de las distancias desde el punto $B$ a las casas. Llamamos a un punto ideal si no existe ningún punto mejor que él. Demuestra que existe a lo sumo $1$ punto ideal para generar el recurso.

3 $n$ equipos de voleibol han competido entre sí (cada $2$ equipos han competido exactamente $1$ vez). Para cada $2$ equipos distintos como $A,B$, existen exactamente $t$ equipos que han perdido su partido contra $A,B$. Demuestra que $n=4t+3$. (Nota que en voleibol, ¡no existe empate!)

Encuentra el mayor valor posible de la expresión \( y - x \), si los números reales no negativos \( x, y \) satisfacen la ecuación: \[ x^4 = y(y - 2025)^3. \] Propuesto por Mykhailo Shtandenko, Anton Trygub

Tenemos un tablero de ajedrez y llamamos a un cuadrado de $1\times1$ una habitación. Un robot está parado en un vértice arbitrario de las habitaciones. El robot comienza a moverse y en cada movimiento, recorre un lado de una habitación. Este robot tiene $2$ memorias $A,B$. Al principio, los valores de $A,B$ son $0$. En cada movimiento, si va hacia arriba, se suma $1$ unidad a $A$, y si va hacia abajo, se resta $1$ unidad de $A$, y si va hacia la derecha, el valor de $A$ se suma a $B$, y si va hacia la izquierda, el valor de $A$ se resta de $B$. Supón que el robot ha recorrido un recorrido (!) que no se ha intersectado a sí mismo y finalmente, ha regresado a su vértice inicial. Si $v(B)$ es el valor de $B$ al final del recorrido, demuestra que en este recorrido, la superficie interior de la forma sobre cuya circunferencia se ha movido el robot es igual a $|v(B)|$.

1 Sea $n \in \mathbb N$ y $A_n$ el conjunto de todas las permutaciones $(a_1, \ldots, a_n)$ del conjunto $\{1, 2, \ldots , n\}$ para las cuales \[k|2(a_1 + \cdots+ a_k), \text{ para todo } 1 \leq k \leq n.\] Encuentra el número de elementos del conjunto $A_n$ . Propuesto por Vidan Govedarica, Serbia

Sea $I$ el centro de la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ y sean $AI, BI, CI$ que intersecan los lados $BC, CA, AB$ en los puntos $A_1, B_1, C_1$, respectivamente. Demuestra que $$\frac{AI}{A_1I} \frac{BI}{B_1I} \frac{CI}{C_1I}\ge 8.$$

3 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $\angle ABC = \angle ADC = 135^\circ$, se toman puntos $M$ y $N$ en los rayos $AB$ y $AD$ respectivamente, tales que $\angle MCD = \angle NCB = 90^\circ$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMN$ y $ABD$ se intersecan en $A$ y $K$. Demuestra que $AK \perp KC$.

Sean $A$ y $B$ dos puntos fijos en el plano. Considera todos los cuadriláteros convexos $ABCD$ con $AB = BC$, $AD = DC$, y $\angle ADC = 90^\circ$. Demuestra que existe un punto fijo $P$ tal que, para todo cuadrilátero $ABCD$ de este tipo en el mismo lado de $AB$, la recta $DC$ pasa por $P$.

5 Sea $\delta$ un símbolo tal que $\delta \neq 0$ y $\delta^2 = 0$. Define $\mathbb R[\delta] = \{a + b \delta \mid a, b \in \mathbb R\}$, donde $a + b \delta = c + d \delta$ si y solo si $a = c$ y $b = d$, y define \[ (a + b \delta) + (c + d \delta) = (a + c) + (b + d) \delta, \] \[ (a + b \delta) \cdot (c + d \delta) = ac + (ad + bc) \delta. \] Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales. Demuestra que $P(x)$ tiene una raíz real múltiple si y solo si $P(x)$ tiene una raíz no real en $\mathbb R[\delta]$.