2 Una circunferencia con centro $ I_a $ es tangente al lado $ BC $ y a las prolongaciones de los lados $ AC $ y $ AB $ del triángulo $ ABC $ . Denotamos por $ B_1 $ el punto medio del arco $ AC $ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC $ que contiene al vértice $ B $ . Demuestre que los puntos $ I_a $ y $ A $ equidistan del punto $ B_1 $ .

5 Un cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia con centro $O$ . Las rectas $AD$ y $BC$ se intersecan en $M$ , las rectas $AB$ y $CD$ se intersecan en $N$ , y las rectas $AC$ y $BD$ se intersecan en $P$ . Las rectas $OP$ y $MN$ se intersecan en $K$ . Demuestre que $\angle PKC=\angle AKP$ .

6 Demuestre que no existen cuatro puntos en el plano tales que la distancia entre cualesquiera dos de ellos sea un entero impar.

2 En el triángulo $ABC$ , $AA_1; BB_1; CC_1$ son las alturas. Sean $I_1$ e $I_2$ los incentros de los triángulos $AC_1B_1$ y $CA_1B_1$ , respectivamente. La circunferencia inscrita de $ABC$ toca a $AC$ en $B_2$ . Demuestre que el cuadrilátero $I_1I_2B_1B_2$ está inscrito en una circunferencia. Ovchinnikov

6 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Demuestre que si para cualquier natural $k$ se cumple la igualdad: $ \underbrace{P(P(...P(0)...))}_{n -times}=0$ , entonces $P(0)=0$ o $P(P(0))=0$ . Ovchinnikov

4 Dado el cuadrilátero cíclico $ ABCD $ . Las prolongaciones de los lados $ AB $ y $ CD $ más allá de los puntos $ B $ y $ C $ , respectivamente, se intersecan en el punto $ M $ . Denotamos los pies de las perpendiculares trazadas desde el punto $ M $ a las diagonales $ AC $ y $ BD $ por $ P $ y $ Q $ , respectivamente. Demuestre que $ KP = KQ $ , donde $ K $ es el punto medio del lado $ AD $ .

2 La bisectriz del ángulo $ A $ del triángulo $ ABC $ interseca al lado $ BC $ en el punto $ A_1 $ , y a la circunferencia circunscrita en $ A_0 $ . Los puntos $ C_1 $ y $ C_0 $ se definen de manera análoga. Las rectas $ A_0C_0 $ y $ A_1C_1 $ se intersecan en el punto $ P $ . Demuestre que $ PI $ es paralela al lado $ AC $ , donde $ I $ es el centro de la circunferencia inscrita.

4 Se dan dos circunferencias tangentes interiormente en el punto $ N $ . Las cuerdas $ BA $ y $ BC $ de la circunferencia exterior son tangentes a la circunferencia interior en los puntos $ K $ y $ M $ , respectivamente. Sean $ Q $ y $ P $ , respectivamente, los puntos medios de los arcos $ AB $ y $ BC $ que no contienen al punto $ N $ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ BQK $ y $ BPM $ se intersecan en el punto $ B_1 \neq B $ . Demuestre que $ BPB_1Q $ es un paralelogramo.

5 Halle todas las soluciones enteras $ (a_1,a_2,\dots,a_{2008})$ de la siguiente ecuación: $ (2008-a_1)^2+(a_1-a_2)^2+\dots+(a_{2007}-a_{2008})^2+a_{2008}^2=2008$

1 Sea $ F_n$ el conjunto de todas las figuras conexas posibles formadas por $ n$ celdas unitarias. Para cada elemento $ f_n$ de este conjunto, sea $ S(f_n)$ el área del rectángulo mínimo que cubre a $ f_n$ y tal que cada lado del rectángulo es paralelo al lado correspondiente de la celda. Halle $ max(S(f_n))$ , donde $ f_n\in F_n$ . Observación: dos celdas se llaman conexas si tienen una arista común.