Una araña construyó una telaraña sobre el círculo unitario. La telaraña es un grafo plano con aristas rectas dentro del círculo, acotado por la circunferencia del círculo. Cada vértice del grafo que está sobre el círculo pertenece a una única arista, que se dirige perpendicularmente hacia el interior del círculo. Para cada vértice del grafo dentro del círculo, la suma de los vectores unitarios salientes a lo largo de las aristas del grafo es cero. Demuestre que la longitud total de la telaraña es igual al número de sus vértices sobre el círculo.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$ . Sea P un punto en el interior de $ABC$ tal que $PB > PC$ y $\angle PBA = \angle PCB$ . Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ . Sea $O$ el circuncentro del triángulo $APM$ . Demuestre que $\angle OAC=2 \angle BPM$ .

La sucesión $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ se define recursivamente como $a_{0}=a_{1}=1$ , $a_{n+2}=5a_{n+1}-a_{n}-1$ , $\forall n\in\mathbb{N}$ Demuestre que $$a_{n}\mid a_{n+1}^{2}+a_{n+1}+1$$ para cualquier $n\in\mathbb{N}$

Sean $a_1,\ldots,a_{n+1}$ números reales positivos que satisfacen $1/(a_1+1)+\cdots+1/(a_{n+1}+1)=n$ . Demuestre que \[\sum_{i=1}^{n+1}\prod_{j\neq i}\sqrt[n]{a_j}\leqslant\frac{n+1}{n}.\]

El punto $K{}$ es el punto medio del arco $BAC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . El punto $I{}$ es el centro de su círculo inscrito $\omega$ . La recta $KI$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $T{}$ por segunda vez. Demuestre que el círculo que pasa por los puntos medios de los segmentos $BC, BT$ y $CT$ es tangente al círculo que es simétrico a $\omega$ con respecto a $BC$ .

Kirill tiene $n{}$ balones idénticos y dos filas infinitas de cestas, cada una numerada con números naturales consecutivos. En una fila las cestas son rojas y en la otra son azules. Kirill coloca todas las bolas en las cestas de modo que el número de bolas en cualquiera de las filas de cestas no aumente. Denote por $A{}$ el número de maneras de acomodar las bolas de modo que la primera cesta azul contenga más bolas que cualquier cesta roja, y por $B{}$ el número de acomodos tales que el número de alguna cesta azul corresponda con el número de bolas en ella. Demuestre que $A = B$ .

Los números naturales $a > b$ son tales que $a-b=5b^2-4a^2$ . Demuestre que el número $8b + 1$ es compuesto.

Hay 300 niños en un campamento. Cada uno tiene no más de $k-1$ amigos. ¿Cuál es el menor $k{}$ para el cual podría ser imposible crear algunas nuevas amistades de modo que todos tengan exactamente $k{}$ amigos?

Sea $n$ un entero positivo impar, y considere una cuadrícula cuadrada infinita. Demuestre que es imposible escribir en cada celda uno de los números $1,2$ o $3$ , de modo que se satisfagan simultáneamente las siguientes condiciones: (1) Dos celdas cualesquiera que compartan un lado común no tienen el mismo número escrito en ellas. (2) Para cualquier subcuadrícula de $1\times 3$ o $3\times 1$ , los números escritos no contienen $1,2,3$ en ese orden, ya sea leyendo de arriba hacia abajo, de abajo hacia arriba, de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. (3) La suma de los números de cualquier subcuadrícula de $n\times n$ es la misma.

Determine si existen o no dos polinomios $P, Q$ de grado no menor que 2018 y con coeficientes enteros tales que $$P(Q(x))=3Q(P(x))+1$$ para todo número real $x$ .