G2 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A = 90^o$ y $AD$ su altura. Trazamos rectas paralelas desde $D$ a los lados verticales del triángulo y llamamos $E, Z$ a sus puntos de intersección con $AB$ y $AC$ respectivamente. La recta paralela a $EZ$ trazada desde $C$ interseca a la recta $AB$ en el punto $N$ . Sea $A' $ el simétrico de $A$ con respecto a la recta $EZ$ e $I, K$ las proyecciones de $A'$ sobre $AB$ y $AC$ respectivamente. Si $T$ es el punto de intersección de las rectas $IK$ y $DE$ , demuestre que $\angle NA'T = \angle ADT$ .

g6.1.9 En el triángulo $\vartriangle ABC$, $D$ y $E$ son los puntos medios de los lados $BC$ y $AC$, respectivamente. Se trazan las rectas $AD$ y $BE$, que se intersectan en $P$. Resulta que $\angle CAD = 15^o$ y $\angle APB = 60^o$. ¿Cuál es el valor de $AB/BC$?

4 Demuestre que para todos los números reales positivos $a,b,c$ se cumple la siguiente desigualdad \[ \frac{1}{b(a+b)}+ \frac{1}{c(b+c)}+ \frac{1}{a(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^2} . \] Laurentiu Panaitopol, Rumania

3 Halle todos los enteros positivos que tienen exactamente 16 divisores positivos $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_{16} =n$ tales que el divisor $d_k$ , donde $k = d_5$ , es igual a $(d_2 + d_4) d_6$ . Valentin

2 Dos circunferencias con centros $O_{1}$ y $O_{2}$ se cortan en dos puntos $A$ y $B$ tales que los centros de las circunferencias están en lados opuestos de la recta $AB$ . Las rectas $BO_{1}$ y $BO_{2}$ cortan a sus respectivas circunferencias nuevamente en $B_{1}$ y $B_{2}$ . Sea $M$ el punto medio de $B_{1}B_{2}$ . Sean $M_{1}$ , $M_{2}$ puntos sobre las circunferencias de centros $O_{1}$ y $O_{2}$ respectivamente, tales que $\angle AO_{1}M_{1}= \angle AO_{2}M_{2}$ , y $B_{1}$ está sobre el arco menor $AM_{1}$ mientras que $B$ está sobre el arco menor $AM_{2}$ . Muestre que $\angle MM_{1}B = \angle MM_{2}B$ . Ciprus Iris

1 El triángulo $ABC$ tiene $CA = CB$ . $P$ es un punto sobre la circunferencia circunscrita entre $A$ y $B$ (y en el lado opuesto de la recta $AB$ respecto de $C$ ) . $D$ es el pie de la perpendicular trazada desde $C$ a $PB$ . Muestre que $PA + PB = 2 \cdot PD$ . Valentin

A2 Halle el máximo entero positivo $k$ tal que para cualesquiera enteros positivos $m,n$ que satisfacen $m^3+n^3>(m+n)^2$ , se tiene $$m^3+n^3\geq (m+n)^2+k$$ Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

6 Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y sea $M$ el punto medio de $AC$ . Se elige un punto $P$ (distinto de $B$ ) sobre el segmento $BC$ de tal manera que $AB=AP$ . Sea $D$ la intersección de $AC$ con la circunferencia circunscrita de $\bigtriangleup ABP$ distinta de $A$ , y sea $E$ la intersección de $PM$ con la circunferencia circunscrita de $\bigtriangleup ABP$ distinta de $P$ . Sea $K$ la intersección de las rectas $AP$ y $DE$ . Sea $F$ un punto sobre $BC$ (distinto de $P$ ) tal que $KP=KF$ . Muestre que $C,\ D,\ E$ y $F$ están sobre la misma circunferencia.

A4 Sean $k > 1, n > 2018$ enteros positivos, y sea $n$ impar. Los números racionales no nulos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ no son todos iguales y satisfacen $$x_1+\frac{k}{x_2}=x_2+\frac{k}{x_3}=x_3+\frac{k}{x_4}=\ldots=x_{n-1}+\frac{k}{x_n}=x_n+\frac{k}{x_1}$$ Halle: a) el producto $x_1 x_2 \ldots x_n$ como función de $k$ y $n$ b) el menor valor de $k$ , tal que existen $n,x_1,x_2,\ldots,x_n$ que satisfacen las condiciones dadas.

5 Sea $n \geq 3$ un entero y sean $a_1,a_2,...,a_n$ números reales positivos tales que $m$ es el menor y $M$ es el mayor de estos números. Se sabe que para cualesquiera enteros distintos $1 \leq i,j,k \leq n$ , si $a_i \leq a_j \leq a_k$ entonces $a_ia_k \leq a_j^2$ . Muestre que \[ a_1a_2 \cdots a_n \geq m^2M^{n-2} \] y determine cuándo se cumple la igualdad