7 Si $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{2}$ y $x_i > 0$ ; entonces demuestre que: $ \frac{1-x_1}{1+x_1} \cdot \frac{1-x_2}{1+x_2} \cdots \frac{1-x_n}{1+x_n} = \prod_{i=1}^{n} \frac{1-x_i}{1+x_i} \geq \frac{1}{3}$

10 Dado un triángulo equilátero $ABC$ y un punto $M$ en el plano ( $ABC$ ) . Sean $A', B', C'$ respectivamente los simétricos respecto de $M$ de los puntos $A, B, C$ . I. Demuestre que existe un único punto $P$ equidistante de $A$ y $B'$ , de $B$ y $C'$ y de $C$ y $A'$ . II. Sea $D$ el punto medio del lado $AB$ . Cuando $M$ varía ( $M$ no coincide con $D$ ) , demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $MNP$ ( $N$ es la intersección de la recta $DM$ con $AP$ ) pasa por un punto fijo.

3 Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función definida como el máximo de un número finito de funciones $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ de la forma $g(x)=C\cdot10^{-|x-d|}$ (con diferentes valores de los parámetros $d{}$ y $C>0$ ) . Para números reales $a<b$ tenemos $f(a)=f(b)$ . Demuestre que en el segmento $[a;b]$ la suma de las longitudes de los segmentos en los que $f$ es creciente es igual a la suma de las longitudes de los segmentos en los que $f$ es decreciente.

12 Suponga que en cierta sociedad, cada par de personas puede clasificarse como amistoso u hostil . Diremos que cada miembro de un par amistoso es amigo del otro, y cada miembro de un par hostil es enemigo del otro. Suponga que la sociedad tiene $\, n \,$ personas y $\, q \,$ pares amistosos, y que para todo conjunto de tres personas, al menos un par es hostil. Demuestre que hay al menos un miembro de la sociedad cuyos enemigos incluyen $\, q(1 - 4q/n^2) \,$ o menos pares amistosos.

1 Demuestre que $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ es un número compuesto.

11 Sea $A{}$ un conjunto con $n{}$ $(n\geq3)$ elementos. Las iteraciones $f^2,f^2,\ldots$ de la función $f:A\rightarrow A$ se definen como $f^2(x)=f(f(x)), f^{i+1}=f(f^i(x)), \forall i\geq2$ . Halle el número de funciones $f:A\rightarrow A$ con la propiedad: la función $f^{n-2}$ es constante, pero $f^{n-3}$ no lo es.

8 Dentro del paralelogramo $ABCD$ los puntos $M, N, K$ y $L{}$ están sobre los lados $AB, BC, CD{}$ y $DA$ , respectivamente. Sean $O_1, O_2, O_3$ y $O_4$ los circuncentros de los triángulos $MBN, NCK, KDL$ y $LAM{}$ , respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $O_1O_2O_3O_4$ es un paralelogramo.

9 El entero positivo $q{}$ es $m-additive$ $(m\in\mathbb{N}, m\geq2)$ si existen enteros positivos distintos dos a dos $a_1,a_2,\ldots,a_m$ tales que $q=a_1+a_2+\ldots+a_m$ y $a_i | a_{i+1}$ para $i=1,2,\ldots,m-1$ . a) Demuestre que $1993$ es $8$ -aditivo, pero no $9$ -aditivo. b) Determine el mayor entero $m$ para el cual $2102$ es $m$ -aditivo.

1 Sea $O$ un punto y sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias con centro $O$ y radios $10$ y $20$ , respectivamente. Danielle elige un punto $A$ en $C_1$ y un punto $B$ en $C_2$ . Halle el valor máximo que puede tomar el área del triángulo $AOB$ .

3 Entre todos los números de dos cifras que pueden formarse a partir de cuatro dígitos distintos, ¿cuál es el número máximo de múltiplos de $7$ que existen?