3 Para enteros $a,b$ definimos $f((a,b))=(2a,b-a)$ si $a<b$ y $f((a,b))=(a-b,2b)$ si $a\geq b$ . Dado un número natural $n>1$ , demuestre que existen números naturales $m,k$ con $m<n$ tales que $f^{k}((n,m))=(m,n)$ , donde $f^{k}(x)=f(f(f(...f(x))))$ , estando $f$ compuesta consigo misma $k$ veces.

3 Sea $n > 1$ un entero dado. Demuestre que infinitos términos de la sucesión $(a_k )_{k\ge 1}$ , definida por \[a_k=\left\lfloor\frac{n^k}{k}\right\rfloor,\] son impares. (Para un número real $x$ , $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero que no excede a $x$ . ) Propuesto por Hong Kong

1 En un triángulo $ABC$ , un punto $D$ está sobre el segmento $BC$ . Sean $X$ y $Y$ los incentros de los triángulos $ACD$ y $ABD$ respectivamente. Las rectas $BY$ y $CX$ intersecan a la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ en $P\ne Y$ y $Q\ne X$ , respectivamente. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $PX$ y $QY$ . Suponga que $K$ es también la reflexión de $I$ respecto a $BC$ , donde $I$ es el incentro del triángulo $ABC$ . Demuestre que $\angle BAC=\angle ADC=90^{\circ}$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo en el cual $CA>BC>AB$ . Sea $H$ su ortocentro y $O$ su circuncentro. Sean $D$ y $E$ respectivamente los puntos medios del arco $AB$ que no contiene a $C$ y del arco $AC$ que no contiene a $B$ . Sean $D'$ y $E'$ respectivamente las reflexiones de $D$ respecto a $AB$ y de $E$ respecto a $AC$ . Demuestre que $O, H, D', E'$ se encuentran sobre una circunferencia si y solo si $A, D', E'$ son colineales.

1 Halle todos los enteros positivos $a,b$ tales que $\frac{a^2+b}{b^2-a}$ y $\frac{b^2+a}{a^2-b}$ son también enteros.

2 Halle todas las ternas $(p, x, y)$ formadas por un número primo $p$ y dos enteros positivos $x$ y $y$ tales que $x^{p -1} + y$ y $x + y^ {p -1}$ son ambas potencias de $p$ . Propuesto por Bélgica

1 Considérese una circunferencia fija $\Gamma$ con tres puntos fijos $A, B,$ y $C$ sobre ella. Además, fijemos un número real $\lambda \in(0,1)$ . Para un punto variable $P \not\in\{A, B, C\}$ sobre $\Gamma$ , sea $M$ el punto del segmento $CP$ tal que $CM =\lambda\cdot CP$ . Sea $Q$ el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMP$ y $BMC$ . Demuestre que al variar $P$ , el punto $Q$ se encuentra sobre una circunferencia fija. Propuesto por Jack Edward Smith, Reino Unido

3 Sea $r$ un entero positivo, y sea $a_0 , a_1 , \cdots $ una sucesión infinita de números reales. Suponga que para todos los enteros no negativos $m$ y $s$ existe un entero positivo $n \in [m+1, m+r]$ tal que \[ a_m + a_{m+1} +\cdots +a_{m+s} = a_n + a_{n+1} +\cdots +a_{n+s} \] Demuestre que la sucesión es periódica, es decir, existe algún $p \ge 1 $ tal que $a_{n+p} =a_n $ para todo $n \ge 0$ .

1 En un triángulo $ABC$ , con $AB\neq AC$ y $A\neq 60^{0},120^{0}$ , $D$ es un punto de la recta $AC$ distinto de $C$ . Suponga que los circuncentros y los ortocentros de los triángulos $ABC$ y $ABD$ se encuentran sobre una circunferencia. Demuestre que $\angle ABD=\angle ACB$ .

1 En un triángulo $ABC$ , sea $I$ su incentro; $Q$ el punto en el que la circunferencia inscrita toca a la recta $AC$ ; $E$ el punto medio de $AC$ y $K$ el ortocentro del triángulo $BIC$ . Demuestre que la recta $KQ$ es perpendicular a la recta $IE$ .