1 Suponga que un número natural $n$ puede escribirse como suma de dos cuadrados de naturales positivos de dos maneras diferentes, según las ecuaciones $ n = a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2} $ . Demuestre que el número $n $ es compuesto.

2 En el tetraedro $ABCD$ el radio de su esfera inscrita es $r$ y los radios de las esferas excritas (cada una tangente a una cara del tetraedro y a los planos de las demás caras) son $r_A, r_B, r_C, r_D.$ Demuestre la desigualdad $$\frac{1}{\sqrt{r_A^2-r_Ar_B+r_B^2}}+\frac{1}{\sqrt{r_B^2-r_Br_C+r_C^2}}+\frac{1}{\sqrt{r_C^2-r_Cr_D+r_D^2}}+\frac{1}{\sqrt{r_D^2-r_Dr_A+r_A^2}}\leq\frac{2}{r}.$$

3 Las circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en $ M $ y $N.$ Una recta que pasa por $ M $ interseca a las circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en $ A$ y $B$ , de modo que $M\in(AB)$ . La bisectriz del ángulo $ AMN $ interseca a la circunferencia $\Gamma_1$ en $D,$ y la bisectriz del ángulo $BMN$ interseca a la circunferencia $\Gamma_2$ en $C.$ Demuestre que la circunferencia con diámetro $CD$ divide al segmento $AB$ en dos partes iguales.

4 Sea $n$ un entero mayor que $0$ . Sea $\mathbb{A}= ( a_1,a_2,...,a_n )$ un conjunto de números reales. Halle el número de funciones $f:A \rightarrow A$ tales que $f(f(x))-f(f(y)) \ge x-y$ para cualesquiera $x,y \in \mathbb{A}$ , con $x>y$ .

5 Sea $n\in\mathbb{N}$ , el conjunto $A=\{(x_1,x_2...,x_n)|x_i\in\mathbb{R}_{+}, i=1,2,...,n\}$ y la función $$f:A\rightarrow\mathbb{R}, f(x_1,...,x_n)=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{2x_2}+\ldots+\frac{1}{(n-1)x_{n-1}}+\frac{1}{nx_n}.$$ Demuestre que $f(\textstyle\binom{n}{1},\binom{n}{2},...,\binom{n}{n-1},\binom{n}{n})=f(2^{n-1},2^{n-2},...,2,1).$

6 Halle todas las funciones $f:\mathbb R \to \mathbb R$ tales que para todo $x,y$ real: $(x^2+xy+y^2)(f(x)-f(y))=f(x^3)-f(y^3)$ K.N

7 Sea $ABC$ un triángulo, sea $O$ su circuncentro y sea $H$ su ortocentro. Sea $P$ un punto del segmento $OH$ . Demuestre que $6r\leq PA+PB+PC\leq 3R$ , donde $r$ es el inradio y $R$ el circunradio del triángulo $ABC$ . Nota del moderador: Esto es cierto solo si el punto $P$ está dentro del triángulo $ABC$ . (Por supuesto, esto siempre se cumple si el triángulo $ABC$ es acutángulo, pues en este caso el segmento $OH$ está completamente dentro del triángulo $ABC$ ; pero si el triángulo $ABC$ es obtusángulo, entonces la condición de que $P$ esté dentro del triángulo $ABC$ es realmente necesaria.)

2 Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con ${\angle B<\angle C}$ . La recta $AO$ corta al lado $BC$ en $D$ . Los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ son $E$ y $F$ , respectivamente. Prolongue los lados $BA$ y $CA$ más allá de $A$ , y elija sobre las respectivas prolongaciones los puntos $G$ y $H$ tales que ${AG=AC}$ y ${AH=AB}$ . Demuestre que el cuadrilátero $EFGH$ es un rectángulo si y solo si ${\angle ACB-\angle ABC=60^{\circ }}$ . Propuesto por Hojoo Lee, Corea

4 Dadas las funciones $f,g:N^*\rightarrow N^*$ , $g$ es sobreyectiva y $2f(n)^2=n^2+g(n)^2$ , $\forall n>0$ . Demuestre que si $|f(n)-n|\le2005\sqrt n$ , $\forall n>0$ , entonces $f(n)=n$ para infinitos $n$ .

3 Para una matriz ${n\times n}$ $A$ , sea $X_{i}$ el conjunto de entradas de la fila $i$ , e $Y_{j}$ el conjunto de entradas de la columna $j$ , ${1\leq i,j\leq n}$ . Decimos que $A$ es dorada si ${X_{1},\dots ,X_{n},Y_{1},\dots ,Y_{n}}$ son conjuntos distintos. Halle el menor entero $n$ tal que exista una matriz dorada ${2004\times 2004}$ con entradas en el conjunto ${\{1,2,\dots ,n\}}$ .