3 Dadas unas hojas en las que están escritos los números $00, 01, \ldots, 99$ . Debemos ponerlos en cajas $000, 001, \ldots, 999$ de modo que el número de la hoja sea el número de la caja con un dígito borrado. ¿Cuál es el número mínimo de cajas que necesitamos para poner todas las hojas?

4 Dado un tablero $n \times n$ y en cada casilla hay una ficha. En un movimiento, cada ficha va simultáneamente a una casilla adyacente (dos casillas son adyacentes si comparten un lado común). En una casilla puede haber varias fichas. Encuentre el número mínimo y el número máximo de casillas cubiertas para $n=5, 6, 7$ .

1 Encuentre todos los enteros positivos $ a, b, c, d $ tales que $ a^2+b^2+c^2+d^2=13 \cdot 4^n $

2 Sea $k$ la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ . Toca a $AB=c, BC=a, AC=b$ en $C_1, A_1, B_1$ , respectivamente. Suponga que $KC_1$ es un diámetro de la circunferencia inscrita. Suponga que $C_1A_1$ interseca a $KB_1$ en $N$ y que $C_1B_1$ interseca a $KA_1$ en $M$ . Encuentre la longitud de $MN$ .

3 Demuestre que para todos los reales positivos $m, n, p, q$ y $t=\frac{m+n+p+q}{2}$ , $$ \frac{m}{t+n+p+q} +\frac{n}{t+m+p+q} +\frac{p} {t+m+n+q}+\frac{q}{t+m+n+p} \geq \frac{4}{5}. $$

4 Encuentre todos los enteros positivos que tienen $6$ divisores (sin contar $1$ y el propio número) y cuya suma de los divisores es $14133$ .

1 El cuadrilátero $ABCD$ , en el cual $\angle BAC < \angle DCB$ , está inscrito en una circunferencia $c$ , con centro $O$ . Si $\angle BOD = \angle ADC = \alpha$ . Determine para qué valores de $\alpha$ se cumple la desigualdad $AB <AD + CD$ .

2 a, b, c son números reales positivos y a+b+c=k. Encuentre el valor mínimo de $ b^2/(ka+bc)^1/2+c^2/(kb+ac)^1/2+a^2/(kc+ab)^1/2 $

3 Sea $ M (x,y)=x^2+xy-2y $ , x,y son enteros positivos a) Resuelva en enteros positivos $ x^2+xy-2y=64 $ b) Demuestre que si M (x,y) es un cuadrado perfecto, entonces x+y+2 es compuesto si x>2.

4 Dado un triángulo equilátero $ABC$ de lado $n \geq 3$ . Está dividido en $n^2$ pequeños triángulos equiláteros idénticos de lado $1$ . En cada vértice de los triángulos hay un número. En un movimiento podemos elegir un rombo y sumar o restar $1$ a los $4$ números en los vértices del rombo. Sea el punto $D$ con coordenadas $(3,2)$ donde $3$ es el número de la fila y $2$ es la posición en ella de izquierda a derecha. En los vértices $A,B,C,D$ hay $1$ ' s y en los otros vértices hay $0$ ' s. ¿Es posible que, después de algunas operaciones, todos los números se vuelvan iguales?