8 En el triángulo acutángulo $ABC$ , $AC<BC$ , $M$ es el punto medio de $AB$ y $\Omega$ es su circunferencia circunscrita. Sea $C^\prime$ el antípoda de $C$ en $\Omega$ . $AC^\prime$ y $BC^\prime$ intersecan a $CM$ en $K,L$ , respectivamente. La perpendicular trazada desde $K$ a $AC^\prime$ y la perpendicular trazada desde $L$ a $BC^\prime$ intersecan a $AB$ y entre sí y forman un triángulo $\Delta$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $\Delta$ y $\Omega$ son tangentes.(M.Kungozhin)

1 Hay $30$ equipos en la NBA y cada equipo juega $82$ partidos en el año. Los directivos de la NBA quieren dividir todos los equipos en las Conferencias Oeste y Este (no necesariamente en partes iguales), de modo que el número de partidos entre equipos de conferencias distintas sea la mitad del número total de partidos. ¿Pueden hacerlo?

3 Tenemos una hoja de papel, dividida en $100\times 100$ cuadrados unitarios. En algunos cuadrados colocamos triángulos rectángulos isósceles con cateto = $1$ (cada triángulo se encuentra en un cuadrado unitario y es la mitad de este cuadrado). Cada segmento unitario de la cuadrícula (también los del borde) está bajo un cateto de un triángulo. Halle el número máximo de cuadrados unitarios que no contienen triángulos.

4 Hay un espacio tridimensional. Para cada entero $n$ construimos los planos $ x \pm y\pm z = n$ . Todo el espacio queda dividido en octaedros y tetraedros. El punto $(x_0,y_0,z_0)$ tiene coordenadas racionales pero no se encuentra sobre ningún plano. Demuestre que existe un número natural $k$ tal que el punto $(kx_0,ky_0,kz_0)$ se encuentra estrictamente en el interior de un octaedro de la partición.

2 En el espacio se dan tres segmentos $A_1A_2, B_1B_2$ y $C_1C_2$ , que no se encuentran en un mismo plano y se intersecan en un punto $P$ . Sea $O_{ijk}$ el centro de la esfera que pasa por los puntos $A_i, B_j, C_k$ y $P$ . Demuestre que $O_{111}O_{222}, O_{112}O_{221}, O_{121}O_{212}$ y $O_{211}O_{122}$ se intersecan en un punto. (P.Kozhevnikov)

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ y ortocentro $H$, que cumple $AB<AC$. La recta tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita de $ABC$ interseca a $BC$ en $T$. Sea $X$ el punto medio de $AH$. Demuestra que $\angle ATX=\angle OTB$.

6 Hay $n>1$ ciudades en el país, algunos pares de ciudades están conectados en ambos sentidos mediante vuelos directos. Para cada par de ciudades hay exactamente una ruta aérea (que puede tener escalas). El alcalde de cada ciudad X contó la cantidad de numeraciones de todas las ciudades del $1$ al $n$ tales que en toda ruta aérea que comienza en X, los números de las ciudades están en orden ascendente. Todos los alcaldes, excepto uno, notaron que los resultados de su conteo son múltiplos de $2016$ . Demuestre que el resultado del último alcalde también es múltiplo de $2016$ .

1 ¿Existen dos trinomios cuadráticos $ax^2 +bx+c$ y $(a+1)x^2 +(b + 1)x + (c + 1)$ con coeficientes enteros, ambos con dos raíces enteras? N. Agakhanov

7 Olimpiada de toda Rusia 2016, día 2, grado 9, P8: Sean $a, b, c, d$ números positivos tales que $a+b+c+d=3$ . Demuestre que $$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\le\frac{1}{a^2b^2c^2d^2}$$ Olimpiada de toda Rusia 2016, día 2, grado 11, P7: Sean $a, b, c, d$ números positivos tales que $a+b+c+d=3$ . Demuestre que $$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\le\frac{1}{a^3b^3c^3d^3}$$ Rusia nacional 2016

8 Las medianas $AM_A,BM_B,CM_C$ del triángulo $ABC$ se intersecan en $M$ . Sea $\Omega_A$ la circunferencia circunscrita del triángulo que pasa por el punto medio de $AM$ y es tangente a $BC$ en $M_A$ . Defina $\Omega_B$ y $\Omega_C$ de manera análoga. Demuestre que $\Omega_A,\Omega_B$ y $\Omega_C$ se intersecan en un punto.(A.Yakubov) P.D. perdón por mi error en la traducción :blush: :whistling: .gracias jred por tu ayuda :coolspeak: