1 $a)$ Sean $p$ y $q$ números primos distintos tales que $p+q^2$ divide a $p^2+q$ . Demuestre que $p+q^2$ divide a $pq-1$ . $b)$ Halle todos los números primos $p$ tales que $p+121$ divide a $p^2+11$ .

3 Halle todas las funciones $ f :\mathbb{Z}\mapsto\mathbb{Z} $ tales que se cumplen las siguientes condiciones: $a)$ $f(n) \cdot f(-n)=f(n^2)$ para todo $n\in\mathbb{Z}$ $b)$ $f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn$ para todos los $m,n\in\mathbb{Z}$

1 En el triángulo $ABC$ se cumple $|BC|= \frac{1}{2}(|AB|+|AC|)$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ , y sea $I$ el incentro de $ABC$ . Demuestre que $A, M, I, N$ son concíclicos.

4 Halle todos los primos $p,q$ tales que $p$ divide a $30q-1$ y $q$ divide a $30p-1$ . Math-lover123

4 Un cuadrilátero convexo está dividido por sus diagonales en cuatro triángulos con circunferencias inscritas congruentes. Demuestre que este cuadrilátero es un rombo.

1 Halle el valor máximo del número $a$ tal que para cualquier disposición de los números $1,2,\ldots ,10$ sobre un círculo, podemos encontrar tres números consecutivos cuya suma sea mayor o igual que $a$ .

5 Sean $a$ , $b$ y $c$ los lados de un triángulo tales que $a+b+c\le2$ . Demuestre que $-3<{\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}-\frac{a^3}{c}-\frac{b^3}{a}-\frac{c^3}{b}}<3$

2 Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$ . Demuestre que se cumple la desigualdad \[a \sqrt[3]{1+b-c} + b\sqrt[3]{1+c-a} + c\sqrt[3]{1+a-b} \leq 1\] .

2 Sean $AB$ y $FD$ cuerdas de una circunferencia que no se intersecan y sea $P$ un punto sobre el arco $AB$ que no contiene a la cuerda $FD$ . Las rectas $PF$ y $PD$ intersecan a la cuerda $AB$ en $Q$ y $R$ . Demuestre que $\frac{AQ* RB}{QR}$ es constante mientras el punto $P$ se mueve a lo largo del rayo $AB$ .

3 Los números $1,2, ..., 2n$ se particionan en dos sucesiones $a_1<a_2<...<a_n$ y $b_1>b_2>...>b_n$ . Demuestre que el número \[W= |a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_n-b_n|\] es un cuadrado perfecto.