Supongamos que $ f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R} $ sea una función monótona y para cada $ x_1,x_2\in [a,b] $ tal que $ x_1<x_2 $ ,existe $ c\in (a,b) $ tal que $ \int _{x_1}^{x_2}f(x)dx=f(c)(x_1-x_2) $ a) Demostrar que $ f $ sea la función continua en el intervalo $ (a,b) $ b) Supongamos que $ f $ es función integrable en el intervalo $ [a,b] $ pero $ f $ no es una función monótona entonces, ¿es el resultado de la parte a) correcto?

Supongamos que $f_1,f_2,...,f_n: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ son las funciones periódicas y $f=f_1+f_2+...+f_n , f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tiene un límite finito en $+\infty$ . Demostrar que $f$ es la función constante.

Sean $a,b,c\in Z$ y $a$ sea el número par y $b$ sea el número impar. Demostrar que para cada entero $n$ existe un entero positivo $x$ tal que $2^n\mid ax^2+bx+c$

Sea $P$ un polígono regular convexo con $n$ lados, que tiene el centro $O$ y $\angle xOy$ un ángulo de medida $a$ , $a \in (0,k)$ . Sea $S$ el área de la parte común de los interiores del polígono y el ángulo. Encontrar, como función de $n$ , los valores de $a$ tales que $S$ permanece constante cuando $\angle xOy$ está rotando alrededor de $O$ .

Sea $ABCD$ un tetraedro y $M$ un punto variable en la cara $BCD$ . La línea perpendicular a $(BCD)$ en $M$ interseca a los planos $ (ABC)$ , $(ACD)$ , y $(ADB)$ en $M_1$ , $M_2$ , y $M_3$ . Demostrar que la suma $MM_1 + MM_2 + MM_3$ es constante si y sólo si la perpendicular trazada desde $A$ a $(BCD)$ pasa por el centroide del triángulo $BCD$ .

Para $n ,p \in N^*$ , $ 1 \le p \le n$ , definimos $$ R_n^p = \sum_{k=0}^p (p-k)^n(-1)^k C_{n+1}^k $$ Demostrar que: $R_n^{n-p+1} =R_n^p$ .

En el triángulo $ABC$ el incírculo $J$ toca los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ en $D$ , $E$ , $F$ , respectivamente. Los segmentos $(BE)$ y $(CF)$ intersecan a $J$ en $G,H$ . Si $B$ y $C$ son puntos fijos, encontrar los lugares geométricos de los puntos $A, D, E, F, G, H$ si $GH \parallel BC$ y los lugares geométricos de los mismos puntos si $BCHG$ es un cuadrilátero inscriptible.

Demostrar que $ \forall x\in \mathbb{R} $ , $ \cos ^7x+\cos ^7(x+\frac {2\pi}{3})+\cos ^7(x+\frac {4\pi}{3})=\frac {63}{64}\cos 3x $

$ a,b,c,d \in [0,1]$ y $ x,y,z,t \in [0, \frac{1}{2}]$ y $ a+b+c+d=x+y+z+t=1$ . Probar que: \n$ (i)$ $ ax+by+cz+dt$ $ \geq$ $ min( {\frac{a+b}{2} , \frac{b+c}{2} , \frac{c+d}{2} , \frac{d+a}{2} , \frac{a+c}{2} , \frac{b+d}{2} })$\n$ (ii)$ $ ax+by+cz+dt$ $ \geq$ $ 54abcd$

Sean $a, b, c \in R,$ $a \ne 0$ , tales que $a$ y $4a+3b+2c$ tienen el mismo signo. Demostrar que la ecuación $ax^2+bx+c=0$ no puede tener ambas raíces en el intervalo $(1,2)$ .