a) Sea $AB CD$ un tetraedro regular. En los lados $AB$ , $AC$ y $AD$ , se consideran los puntos $M$ , $N$ y $P$ . Determinar el volumen del tetraedro $AMNP$ en términos de $x, y, z$ , donde $x=AM$ , $y=AN$ , $z=AP$ . \nb) Demostrar que para cualquier número real $x, y, z, t, u, v \in (0, 1)$ : $$xyz + uv(1- x) + (1- y)(1- v)t + (1- z)(1- w)(1- t) < 1.$$

Sean $N, P$ los centros de las caras A $BB'A'$ y $ADD'A'$ , respectivamente, de un paralelepípedo recto $ABCDA'B'C'D'$ y $M \in (A'C)$ tal que $A'M= \frac13 A' C$ . Demostrar que $MN \perp AB'$ y $ MP \perp AD' $ si y sólo si el paralelepípedo es un cubo.

Encontrar todos los polinomios $p_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ ( $n\geq 2$ ) con coeficientes reales y no nulos tales que $p_n(x)-p_1(x)p_2(x)...p_{n-1}(x)$ sea un polinomio constante.

Sean $a$ y $b$ números reales tales que $a + b = 2$ . Demostrar que: $$\min \{|a|,|b|\} < 1 < \max \{|a|,|b|\} \Leftrightarrow a, b \in (-3,1)$$

En el triángulo rectángulo $ABC$ ( $m ( \angle A) = 90^o$ ) $D$ es el pie de la altura desde $A$ . Las bisectrices de los ángulos $ABD$ y $ADB$ se intersecan en $I_1$ y las bisectrices de los ángulos $ACD$ y $ADC$ en $I_2$ . Encontrar los ángulos del triángulo si la suma de las distancias desde $I_1$ y $I_2$ a $AD$ es igual a $\frac14$ de la longitud de $BC$ .

Sea $AB CD$ un rectángulo con $AB=1$ . Si $m ( \angle BDC) = 82^o30'$ , calcular la longitud de $ BD$ y el coseno de $82^o30'$ .

Encontrar todos los números reales $x$ para los cuales se cumple la siguiente igualdad: $$\sqrt{\frac{x-7}{1989}}+\sqrt{\frac{x-6}{1990}}+\sqrt{\frac{x-5}{1991}}=\sqrt{\frac{x-1989}{7}}+\sqrt{\frac{x-1990}{6}}+\sqrt{\frac{x-1991}{5}}$$

Encontrar todos los pares de números reales $(x, y)$ tales que: \na) $x\ge y\ge1$\nb) $2x^2-xy-5x +y + 4 = 0$

Considere $ \triangle ABC$ y los puntos $ M \in (AB)$ , $ N \in (BC)$ , $ P \in (CA)$ , $ R \in (MN)$ , $ S \in (NP)$ , $ T \in (PM)$ tales que $ \frac {AM}{MB} = \frac {BN}{NC} = \frac {CP}{PA} = k$ y $ \frac {MR}{RN} = \frac {NS}{SP} = \frac {PT}{TN} = 1 - k$ para algún $ k \in (0, 1)$ . Demostrar que $ \triangle STR \sim \triangle ABC$ y, además, determinar $ k$ para el cual se alcanza el mínimo de $ [STR]$ .

Para un grupo $\left( G, \star \right)$ y $A, B$ dos subconjuntos no vacíos de $G$ , definimos $A \star B = \left\{ a \star b : a \in A \ \text{y}\ b \in B \right\}$ . (a) Demostrar que si $n \in \mathbb N, \, n \geq 3$ , entonces el grupo $\left( \mathbb Z \slash n \mathbb Z,+\right)$ puede ser escrito como $\mathbb Z \slash n \mathbb Z = A+B$ , donde $A, B$ son dos subconjuntos no vacíos de $\mathbb Z \slash n \mathbb Z$ y $A \neq \mathbb Z \slash n \mathbb Z, \, B \neq \mathbb Z \slash n \mathbb Z, \, \left| A \cap B \right| = 1$ . (b) Si $\left( G, \star \right)$ es un grupo finito, $A, B$ son dos subconjuntos de $G$ y $a \in G \setminus \left( A \star B \right)$ , entonces demostrar que la función $f : A \to G \setminus B$ dada por $f(x) = x^{-1}\star a$ está bien definida e inyectiva. Deducir que si $|A|+|B| > |G|$ , entonces $G = A \star B$ . Pregunta. ¿Tiene nombre el último resultado?