Sea $\mathcal K$ un campo con $2^{n}$ elementos, $n \in \mathbb N^\ast$ , y $f$ sea el polinomio $X^{4}+X+1$ . Demostrar que: (a) si $n$ es par, entonces $f$ es reducible en $\mathcal K[X]$ ; (b) si $n$ es impar, entonces $f$ es irreducible en $\mathcal K[X]$ . Observación. Vi la solución oficial y no fue tan difícil, pero simplemente no pude resolver este maldito problema.

Encontrar todas las funciones continuas $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tales que: (a) $\lim_{x \to \infty}f(x)$ existe; (b) $f(x) = \int_{x+1}^{x+2}f(t) \, dt$ , para todo $x \in \mathbb R$ .

Sea $f : \left[ 0, 1 \right] \to \mathbb R$ una función continua y $g : \left[ 0, 1 \right] \to \left( 0, \infty \right)$ . Demostrar que si $f$ es creciente, entonces $$\int_{0}^{t}f(x) g(x) \, dx \cdot \int_{0}^{1}g(x) \, dx \leq \int_{0}^{t}g(x) \, dx \cdot \int_{0}^{1}f(x) g(x) \, dx .$$

Para un grupo $\left( G, \star \right)$ y $A, B$ dos subconjuntos no vacíos de $G$ , definimos $A \star B = \left\{ a \star b : a \in A \ \text{y}\ b \in B \right\}$ . (a) Demostrar que si $n \in \mathbb N, \, n \geq 3$ , entonces el grupo $\left( \mathbb Z \slash n \mathbb Z,+\right)$ puede ser escrito como $\mathbb Z \slash n \mathbb Z = A+B$ , donde $A, B$ son dos subconjuntos no vacíos de $\mathbb Z \slash n \mathbb Z$ y $A \neq \mathbb Z \slash n \mathbb Z, \, B \neq \mathbb Z \slash n \mathbb Z, \, \left| A \cap B \right| = 1$ . (b) Si $\left( G, \star \right)$ es un grupo finito, $A, B$ son dos subconjuntos de $G$ y $a \in G \setminus \left( A \star B \right)$ , entonces demostrar que la función $f : A \to G \setminus B$ dada por $f(x) = x^{-1}\star a$ está bien definida e inyectiva. Deducir que si $|A|+|B| > |G|$ , entonces $G = A \star B$ . Pregunta. ¿Tiene nombre el último resultado?

Demuestra que un anillo finito no trivial no es un cuerpo oblicuo si y solo si la ecuación $ x^n+y^n=z^n $ tiene soluciones no triviales en este anillo para cualquier número natural $ n. $

Decimos que el grupo abeliano $ G $ tiene la propiedad (P) si, para cualquier grupo conmutativo $ H, $ cualquier $ H’\le H $ y cualquier momomorfismo $ \mu’:H\longrightarrow G, $ existe un morfismo $ \mu :H\longrightarrow G $ tal que $ \mu\bigg|_{H’} =\mu’ . $ Muestra que: a) el grupo $ \left( \mathbb{Q}^*,\cdot \right) $ no tiene la propiedad (P). b) el grupo $ \left( \mathbb{Q}, +\right) $ tiene la propiedad (P).

Para cualquier partición $ P $ de $ [0,1] $ , considera el conjunto $$ \mathcal{A}(P)=\left\{ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}\left| \exists f’\bigg|_{[0,1]}\right.\wedge\int_0^1 |f(x)|dx =1\wedge \left( y\in P\implies f (y ) =0\right)\right\} . $$ Demuestra que existe una partición $ P_0 $ de $ [0,1] $ tal que $$ g\in \mathcal{A}\left( P_0\right)\implies \sup_{x\in [0,1]} \big| g’(x)\big| >4\cdot \# P. $$ Aquí, $ \# D $ denota el número natural $ d $ tal que $ 0=x_0<x_1<\cdots <x_d=1 $ es una partición $ D $ de $ [0,1] . $

Sea $ a\in (1,\infty) $ y una función continua $ f:[0,\infty)\longrightarrow\mathbb{R} $ que tiene la propiedad: $$ \lim_{x\to \infty} xf(x)\in\mathbb{R} . $$ a) Demuestra que la integral $ \int_1^{\infty} \frac{f(x)}{x}dx $ y el límite $ \lim_{t\to\infty} t\int_{1}^a f\left( x^t \right) dx $ ambos existen, son finitos e iguales. b) Calcula $ \lim_{t\to \infty} t\int_1^a \frac{dx}{1+x^t} . $

Sea $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ una función que satisface las condiciones: $ \text{(i)}\quad \lim_{x\to\infty} (f\circ f) (x) =\infty =-\lim_{x\to -\infty} (f\circ f) (x) $ $ \text{(ii)}\quad f $ tiene la propiedad de Darboux a) Demuestra que los límites de $ f $ en $ \pm\infty $ existen. b) ¿Es posible que los límites de a) sean finitos?

Una función $ f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R} $ es olímpica si, cualquier número finito de elementos distintos por pares de $ \mathbb{R}^2 $ en los que la función toma el mismo valor representan en el plano los vértices de un polígono convexo. Demuestra que si $ p $ si un polinomio complejo de grado al menos $ 1, $ entonces la función $ \mathbb{R}^2\ni (x,y)\mapsto |p(x+iy)| $ es olímpica si y solo si las raíces de $ p $ son todas iguales.