Estudia la convergencia de una secuencia $ \left( x_n\right)_{n\ge 0} $ para la cual $ x_0\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} , $ y $ x_{n+1}\in \left\{ \frac{x_n+1}{x_n} , \frac{x_n+2}{2x_n-1}\right\} , $ para todo $ n\ge 1. $

Sea $ \mathcal{M} =\left\{ A\in M_2\left( \mathbb{C}\right)\big| \det\left( A-zI_2\right) =0\implies |z| < 1\right\} . $ Demuestra que: $$ X,Y\in\mathcal{M}\wedge X\cdot Y=Y\cdot X\implies X\cdot Y\in\mathcal{M} . $$

Sea $ f $ un polinomio de grado $ 3 $ y que tiene coeficientes racionales. Demuestra que, si existen dos números racionales no nulos distintos $ a,b $ y dos raíces $ x,y $ de $ f $ tales que $ ax+by $ es racional, entonces todas las raíces de $ f $ son racionales.

Sea un tetaedro $ ABCD, $ y $ E $ la proyección de $ D $ en el plano formado por $ ABC. $ Si $ \mathcal{A}_{\mathcal{R}} $ denota el área de la región $ \mathcal{R}, $ muestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) $ C=E\vee CE\parallel AB $ b) $ M\in\overline{CD}\implies\mathcal{A}_{ABM}^2=\frac{CM^2}{CD^2}\cdot\mathcal{A}_{ABD}^2 +\left( 1-\frac{CM^2}{CD^2}\right)\cdot\mathcal{A}_{ABC}^2 $

Demuestra que si $ z_1,z_2\in\mathbb{C}^* $ satisfacen la relación: $$ z_1\cdot 2^{\big| z_1\big|} +z_2\cdot 2^{\big| z_2\big|} =\left( z_1+z_2\right)\cdot 2^{\big| z_1 +z_2\big|} , $$ entonces $ z_1^6=z_2^6 $

Sea $ \left( x_n\right)_{n\ge 1} $ una secuencia que tiene $ x_1=3 $ y se define como $ x_{n+1} =\left\lfloor \sqrt 2x_n\right\rfloor , $ para cada número natural $ n. $ Encuentra todos los valores $ m $ para los cuales los términos $ x_m,x_{m+1},x_{m+2} $ están en progresión aritmética, donde $ \lfloor\rfloor $ denota la parte entera.

Sea $ I $ el centro del incírculo de un triángulo $ ABC. $ Demuestra que, si para cualquier punto $ M $ en el segmento $ AB $ (extremos excluidos) existen dos puntos $ N,P $ en $ BC, $ respectivamente, $ AC $ (ambos excluyendo los extremos) tal que el centro de masa de $ MNP $ coincide con $ I, $ entonces $ ABC $ es equilátero.

Sea un número natural $ n\ge 2 $ y una expresión de $ n $ variables $$ E\left( x_1,x_2,...,x_n\right) =x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2-x_1x_2-x_2x_3-\cdots -x_{n-1}x_n -x_nx_1. $$ Determina $ \sup_{x_1,...,x_n\in [0,1]} E\left( x_1,x_2,...,x_n\right) $ y los valores específicos en los que se alcanza este supremo.

Sean $ A,B $ dos puntos en un plano y sean dos números $ a,b\in (0,1) . $ Para cada punto $ M $ que no está en la línea $ AB $ considera $ P $ en el segmento $ AM $ y $ N $ en $ BM $ (ambos excluyendo los extremos) tal que $ BN=b\cdot BM $ y $ AP=a\cdot AM. $ Encuentra el lugar geométrico de los puntos $ M $ para los cuales $ AN=BP. $

Sean dos primos naturales $ 1\le q \le p. $ Demuestra que $ \left( \sqrt{p^2+q} +p\right)^2 $ es irracional y su parte fraccionaria supera $ 3/4. $