En el paralelepípedo rectangular $ABCDA'B'C'D'$, los puntos $E$ y $F$ son los centros de las caras $ABCD$ y $ADD' A'$, respectivamente, y los planos $(BCF)$ y $(B'C'E)$ son perpendiculares. Sea $A'M \perp B'A$, $M \in B'A$ y $BN \perp B'C$, $N \in B'C$ . Denota $n = \frac{C'D}{BN}$ . a) Muestra que $n \ge \sqrt2$ . b) Expresa en términos de $n$, la razón entre el volumen del tetraedro $BB'M N$ y el volumen del paralelepípedo $ABCDA'B'C'D'$.

Sea $SABC$ la pirámide donde $ m(\angle ASB) = m(\angle BSC) = m(\angle CSA) = 90^o$ . Muestra que, cualquiera que sea el punto $M \in AS$ y cualquiera que sea el punto $N \in BC$, se cumple la relación $$\frac{1}{MN^2} \le \frac{1}{SB^2} + \frac{1}{SC^2}.$$

Los números reales negativos $x, y, z, t$ satisfacen simultáneamente las igualdades, $$x + y + z = t, \,\,\,\,\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \frac{1}{t}, \,\,\,\, x^3 + y^3 + z^3 = 1000^3$$ Calcula $x + y + z + t$.

a) Demuestra que el número $(2k + 1)^3 - (2k - 1)^3$, $k \in Z$, es la suma de tres cuadrados perfectos. b) Representa el número $(2n + 1)^3 -2$, $n \in N^*$, como la suma de $3n- 1$ cuadrados perfectos mayores que $1$.

En el cuadrado $ABCD$ consideramos $ E \in (AB)$ , $ F \in (AD)$ y $EF \cap AC = \{P\}$ . Muestra que: a) $\frac{1}{AE} + \frac{1}{AF} = \frac{\sqrt2}{AP}$ b) $AP^2 \le \frac{AE \cdot AF}{2}$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D \in [BC]$ variable. Denotemos por $E, F$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a $AB$, $AC$ respectivamente. a) Demuestra que $$\frac{4S^2}{b^2+c^2}\le DE^2 + DF^2\le max \{h_B^2 + h_C^2 \}.$$ b) Demuestra que, si $D_0 \in [BC]$ es el punto donde se alcanza el mínimo de la suma $DE^2 + DF^2$, entonces $D_0$ es la pierna de la mediana simétrica de $A$ que mira a la bisectriz del ángulo $A$. c) Especifica la posición de $D \in [BC]$ para la cual se alcanza el máximo de la suma $DE^2 + DF^2$. (El área del triángulo $ABC$ se denota por $S$ y $h_b, h_c$ son las longitudes de las altitudes desde $B$ y $C$ respectivamente)

Si $a, b, c$ representan las longitudes de los lados de un triángulo, prueba que: $$\frac{a}{b-a+c}+ \frac{b}{b-a+c}+ \frac{c}{b-a+c} \ge 3$$

Sabiendo que $1 < y < 2$ y $x - y + 1 = 0,$ calcula el valor de la expresión: $$E = \sqrt{4x^2 +4y-3} + 2\sqrt{y^2 - 6x - 2y +10}.$$

Para los números reales $a, b, c, d$, se cumplen las siguientes desigualdades: $$a + b + c \le 3d, \,\,\, b + c + d \le 3a, \,\,\,c + d + a \le 3b, \,\,\,d + a + b\le 3c.$$ Compara los números $a, b, c, d$.

Sea $ABC$ un triángulo y sea su incírculo $\gamma$ toque los lados $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ respectivamente. Sea $P$ un punto estrictamente en el interior de $\gamma.$ Los segmentos $PA,PB,PC$ cruzan $\gamma$ en $A_0,B_0,C_0$ respectivamente. Sean $S_A,S_B,S_C$ los centros de los círculos $PEF,PFD,PDE$ respectivamente y sean $T_A,T_B,T_C$ los centros de los círculos $PB_0C_0,PC_0A_0,PA_0B_0$ respectivamente. Demuestra que $S_AT_A, S_BT_B$ y $S_CT_C$ son concurrentes.