Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BAC = 90^{\circ}$ . El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ en $D,E,F$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $\overline{EF}$ . Sea $P$ la proyección de $A$ sobre $BC$ y sea $K$ la intersección de $MP$ y $AD$ . Pruebe que los circuncírculos de los triángulos $AFE$ y $PDK$ tienen el mismo radio.

Determine todos los conjuntos de números reales $S$ tales que: $1$ es el elemento más pequeño de $S$ , para todo $x,y\in S$ tal que $x>y$ , $\sqrt{x^2-y^2}\in S$

Decimos que una $2023$ - tupla de enteros no negativos $(a_1,\hdots,a_{2023})$ es dulce si se cumplen las siguientes condiciones: $a_1+\hdots+a_{2023}=2023$ $\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\hdots+\frac{a_{2023}}{2^{2023}}\le 1$ Determine el mayor entero positivo $L$ tal que \[a_1+2a_2+\hdots+2023a_{2023}\ge L\] se cumple para cada $2023$ - tupla dulce $(a_1,\hdots,a_{2023})$

Considere un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB < AC$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AB$ , respectivamente. El círculo con diámetro $AB$ interseca las líneas $BC, AM$ y $AC$ en $D, E$ , y $F$ , respectivamente. Sea $G$ el punto medio de $FC$ . Pruebe que las líneas $NF, DE$ y $GM$ son concurrentes.

Sea $n>5$ un entero. Hay $n$ puntos en el plano, no tres de ellos colineales. Cada día, Tom borra uno de los puntos, hasta que quedan tres puntos. En el día $i$ - ésimo, para $1<i<n-3$ , antes de borrar el punto de ese día, Tom escribe el entero positivo $v(i)$ tal que la envolvente convexa de los puntos en ese momento tiene $v(i)$ vértices. Finalmente, escribe $v(n-2) = 3$ . Encuentre el mayor valor posible que la expresión $$|v(1)-v(2)|+ |v(2)-v(3)| + \ldots + |v(n-3)-v(n-2)|$$ puede obtener entre todas las configuraciones iniciales posibles de $n$ puntos y todos los movimientos posibles de Tom. Nota . Una envolvente convexa de un conjunto finito de puntos en el plano es el polígono convexo más pequeño que contiene todos los puntos del conjunto (dentro o en el límite).

Suponga que $a,b,c$ son enteros positivos tales que \[\gcd(a,b)+\gcd(a,c)+\gcd(b,c)=b+c+2023\] Pruebe que $\gcd(b,c)=2023$ . Nota. Para enteros positivos $x$ e $y$ , $\gcd(x,y)$ denota su máximo común divisor.

Sea $x; y; m; n$ enteros mayores que $1$ tales que

¿Para qué números reales $k > 1$ existe un conjunto acotado de números reales positivos $S$ con al menos $3$ elementos tal que $$k(a - b)\in S$$ para todo $a,b\in S $ con $a > b?$ Observación: Un conjunto de números reales positivos $S$ es acotado si existe un número real positivo $M$ tal que $x < M$ para todo $x \in S.$

Sea ABC un triángulo con $|AB|< |AC|. $ Sea $k$ la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ y sea $O$ el centro de $k$ . El punto $M$ es el punto medio del arco $BC $ de $k$ que no contiene a $A$ . Sea $D $ la segunda intersección de la línea perpendicular de $M$ a $AB$ con $ k$ y $E$ sea la segunda intersección de la línea perpendicular de $M$ a $AC $ con $k$ . Los puntos $X $ y $Y $ son las intersecciones de $CD$ y $BE$ con $OM$ respectivamente. Denotemos por $k_b$ y $k_c$ las circunferencias circunscritas de los triángulos $BDX$ y $CEY$ respectivamente. Sean $G$ y $H$ las segundas intersecciones de $k_b$ y $k_c $ con $AB$ y $AC$ respectivamente. Denotemos por ka la circunferencia circunscrita del triángulo $AGH.$ Demostrar que $O$ es el circuncentro de $\triangle O_aO_bO_c, $ donde $O_a, O_b, O_c $ son los centros de $k_a, k_b, k_c$ respectivamente.

Una partición de un entero positivo es par si todos sus elementos son números pares. Similarmente, una partición es impar si todos sus elementos son impares. Determine todos los enteros positivos $n$ tales que el número de particiones pares de $n$ es igual al número de particiones impares de $n$ . Observación: Una partición de un entero positivo $n$ es una secuencia no decreciente de enteros positivos cuya suma de elementos es igual a $n$ . Por ejemplo, $(2; 3; 4), (1; 2; 2; 2; 2)$ y $(9) $ son particiones de $9.$