En una pila tienes 100 piedras. Una partición de la pila en $ k$ pilas es buena si: 1) las pilas pequeñas tienen diferentes números de piedras; 2) para cualquier partición de una de las pilas pequeñas en 2 pilas más pequeñas, entre las $ k + 1$ pilas obtienes 2 con el mismo número de piedras (cualquier pila tiene al menos 1 piedra). Encuentra los valores máximos y mínimos de $ k$ para los cuales esto es posible.

Sean $ m\geq n\geq 4$ dos enteros. Llamamos a un tablero de $ m\times n$ lleno de 0's o 1's bueno si 1) no todos los números en el tablero son 0 o 1; 2) la suma de todos los números en sub-tableros de $ 3\times 3$ es la misma; 3) la suma de todos los números en sub-tableros de $ 4\times 4$ es la misma. Encuentre todos los $ m,n$ tal que existe un tablero de $ m\times n$ bueno.

Sea $ ABC$ un triángulo y $ K$ y $ L$ dos puntos en $ (AB)$ , $ (AC)$ tal que $ BK = CL$ y sea $ P = CK\cap BL$ . Sea la paralela por $ P$ a la bisectriz del ángulo interior de $ \angle BAC$ que intersecta a $ AC$ en $ M$ . Pruebe que $ CM = AB$ .

Resolver en enteros positivos la ecuación \[ n = \varphi(n) + 402 ,\n\] donde $ \varphi(n)$ es el número de enteros positivos menores que $ n$ que no tienen factores primos comunes con $ n$ .

Sean $ A_1,A_2,...,A_{2002}$ puntos arbitrarios en el plano. Demuestra que para cada círculo de radio $ 1$ y para cada rectángulo inscrito en este círculo, existen $3$ vértices $ M,N,P$ del rectángulo tales que $ MA_1 + MA_2 + \cdots + MA_{2002} + $ $NA_1 + NA_2 + \cdots + NA_{2002} + $ $PA_1 + PA_2 + \cdots + PA_{2002}\ge 6006$ .

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo con $ AB=AD$ y $ BC=CD$ . En los lados $ AB,BC,CD,DA$ consideramos puntos $ K,L,L_1,K_1$ tales que el cuadrilátero $ KLL_1K_1$ es un rectángulo. Luego considera rectángulos $ MNPQ$ inscritos en el triángulo $ BLK$ , donde $ M\in KB,N\in BL,P,Q\in LK$ y $ M_1N_1P_1Q_1$ inscritos en el triángulo $ DK_1L_1$ donde $ P_1$ y $ Q_1$ están situados en $ L_1K_1$ , $ M$ en $ DK_1$ y $ N_1$ en $ DL_1$ . Sean $ S,S_1,S_2,S_3$ las áreas de $ ABCD,KLL_1K_1,MNPQ,M_1N_1P_1Q_1$ respectivamente. Encuentra el valor máximo posible de la expresión: $ \frac{S_1+S_2+S_3}{S}$

Sea $ ABC$ un triángulo isósceles con $ AB=AC$ y $ \angle A=20^\circ$ . En el lado $ AC$ considera un punto $ D$ tal que $ AD=BC$ . Encuentra $ \angle BDC$ .

Sea $ ABC$ un triángulo con área $ S$ y puntos $ D,E,F$ en los lados $ BC,CA,AB$ . Las perpendiculares en los puntos $ D,E,F$ a $ BC,CA,AB$ cortan la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC$ en los puntos $ (D_1,D_2), (E_1,E_2), (F_1,F_2)$ . Demuestra que:\n$ |D_1B\cdot D_1C - D_2B\cdot D_2C| + |E_1A\cdot E_1C - E_2A\cdot E_2C| + |F_1B\cdot F_1A - F_2B\cdot F_2A| > 4S$

En el triángulo $ ABC,H,I,O$ son ortocentro, incentro y circuncentro, respectivamente. $ CI$ corta a la circunferencia circunscrita en $ L$ . Si $ AB=IL$ y $ AH=OH$ , encuentra los ángulos del triángulo $ ABC$ .

Sea $ ABC$ un triángulo con centroide $ G$ y $ A_1,B_1,C_1$ los puntos medios de los lados $ BC,CA,AB$ . Una paralela por $ A_1$ a $ BB_1$ intersecta a $ B_1C_1$ en $ F$ . Demuestra que los triángulos $ ABC$ y $ FA_1A$ son similares si y solo si el cuadrilátero $ AB_1GC_1$ es cíclico.