Considera enteros $ a_i,i=\overline{1,2002}$ tales que $ a_1^{ - 3} + a_2^{ - 3} + \ldots + a_{2002}^{ - 3} = \frac {1}{2}$ . Demuestra que al menos 3 de los números son iguales.

Sean $ a_1,a_2,...,a_6$ números reales tales que:\n$ a_1 \not = 0, a_1a_6 + a_3 + a_4 = 2a_2a_5 \ \mathrm{and}\ a_1a_3 \ge a_2^2$\nDemuestra que $ a_4a_6\le a_5^2$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sean $ a,b,c$ números reales positivos. Demuestra la desigualdad: $ \frac {a^3}{b^2} + \frac {b^3}{c^2} + \frac {c^3}{a^2}\ge \frac {a^2}{b} + \frac {b^2}{c} + \frac {c^2}{a}$

Sean $ a,b,c$ números reales positivos tales que $ abc=\frac{9}{4}$ . Demuestra la desigualdad: $ a^3 + b^3 + c^3 > a\sqrt {b + c} + b\sqrt {c + a} + c\sqrt {a + b}$ \nVariante del jurado: Demuestra lo mismo, pero con $ abc=2$

Números reales positivos se organizan de la forma:\n$ 1 \ \ 3 \ \ 6 \ \ 10 \ \ 15 ...$\n$ 2 \ \ 5 \ \ 9 \ \ 14 ...$\n$ 4 \ \ 8 \ \ 13 ...$\n$ 7 \ \ 12 ...$\n$ 11 ...$\nEncuentra el número de la línea y la columna donde se encuentra el número 2002.

Un estudiante está jugando en la computadora. La computadora muestra aleatoriamente 2002 números positivos. Las reglas del juego permiten hacer las siguientes operaciones:\n- Tomar 2 números de estos, duplicar el primero, sumar el segundo y guardar la suma.\n- Tomar otros 2 números de los números restantes, duplicar el primero, sumar el segundo, multiplicar esta suma por la anterior y guardar el resultado.\n- Repetir este procedimiento hasta que no se utilicen los 2002 números. El estudiante gana el juego si el producto final es lo más grande posible. Encuentra la estrategia ganadora y pruébala.

Determine el número máximo $h$ que satisface la siguiente condición: para cada $a\in [0,h]$ y cada polinomio $P(x)$ de grado 99 tal que $P(0)=P(1)=0$, existen $x_1,x_2\in [0,1]$ tales que $P(x_1)=P(x_2)$ y $x_2-x_1=a$. Propuesto por F. Petrov, D. Rostovsky, A. Khrabrov

Se da un triángulo $ABC$. Sea $B_1$ la reflexión de $B$ a través de la línea $AC$, $C_1$ la reflexión de $C$ a través de la línea $AB$, y $O_1$ la reflexión del circuncentro de $ABC$ a través de la línea $BC$. Demuestre que el circuncentro de $AB_1C_1$ se encuentra en la línea $AO_1$. Propuesto por A. Akopyan

Una disposición de fichas en los cuadrados de una tabla de $n\times n$ se llama dispersa si cada cuadrado de $2\times 2$ contiene como máximo 3 fichas. Serge colocó fichas en algunos cuadrados de la tabla (una en un cuadrado) y obtuvo una disposición dispersa. Sin embargo, notó que si alguna ficha se mueve a cualquier cuadrado libre, la disposición ya no es dispersa. ¿Para qué $n$ es esto posible? Propuesto por S. Berlov

Un mago le pidió a un espectador que pensara en un número de tres dígitos $ \overline{abc}$ y luego que le dijera la suma de los números $ \overline{acb}$, $ \overline{bac}$, $ \overline{bca}$, $ \overline{cab}$ y $ \overline{cba}$. Afirma que cuando conoce esta suma puede determinar el número original. ¿Es eso cierto?