Sean dos números naturales $ n $ y $ a. $ a) Prueba que existe un $ n\text{-upla} $ de números naturales $ \left( a_1,a_2,\ldots ,a_n\right) $ que satisfacen la siguiente igualdad. $$ 1+\frac{1}{a} =\prod_{i=1}^n \left( 1+\frac{1}{a_i} \right) $$ b) Muestra que existen sólo finitamente tales $ n\text{-uplas} . $

Sea un cuadrado $ ABCD, $ un punto $ E $ en $ AB, $ un punto $ N $ en $ CD, $ puntos $ F,M $ en $ BC, $ nombra $ P $ la intersección de $ AN $ con $ DE, $ y nombra $ Q $ la intersección de $ AM $ con $ EF. $ Si los triángulos $ AMN $ y $ DEF $ son equiláteros, prueba que $ PQ=FM. $

Prueba que la línea que une el baricentro y el incentro de un triángulo no isósceles es perpendicular a la base si y sólo si la suma de los otros dos lados es tres veces la base.

Sea $a, b, c, d \in [0, 1]$ . Prueba que $$\frac{a}{1 + b}+\frac{b}{1 + c}+\frac{c}{1 + d}+\frac{d}{1 + a}+ abcd \le 3.$$

Sea $n \in N, n\ge 2$ , y $a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ..., b_n$ sean números reales positivos tales que $$\frac{a_1}{b_1} \le \frac{a_2}{b_2} \le ... \le\frac{a_n}{b_n}.$$ Encuentra el real $c$ más grande de modo que $$(a_1-b_1c)x_1+(a_2-b_2c)x_2+...+(a_n-b_nc)x_n \ge 0,$$ para cada $x_1, x_2,..., x_n > 0$ , con $x_1\le x_2\le ...\le x_n$ .

Muestra que para cada entero $n \ge 3$ existe enteros positivos $x_1, x_2, . . . , x_n$ , diferentes por pares, de modo que $\{2, n\} \subset \{x_1, x_2, . . . , x_n\}$ y $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+.. +\frac{1}{x_n}= 1.$$

Prueba lo siguiente: a) Si $ABCA'B'C'$ es un prisma recto y $M \in (BC), N \in (CA), P \in (AB)$ tal que $A'M, B'N$ y $C'P$ son perpendiculares entre sí y concurrentes, entonces el prisma $ABCA'B'C'$ es regular. b) Si $ABCA'B'C'$ es un prisma regular y $\frac{AA'}{AB}=\frac{\sqrt6}{4}$ , entonces hay $M \in (BC), N \in (CA), P \in (AB)$ para que las líneas $A'M, B'N$ y $C'P$ sean perpendiculares entre sí y concurrentes.

Encuentra todos los números primos con $n \ge 3$ dígitos, que tienen la propiedad: para cada $k \in \{1, 2, . . . , n -2\}$ , borrando cualquier $k$ de sus dígitos deja un número primo.

En el cuadrado $ABCD$ denota por $M$ el punto medio del lado $[AB]$ , con $P$ la proyección del punto $B$ en la línea $CM$ y con $N$ el punto medio del segmento $[CP]$ , La bisectriz del ángulo $DAN$ interseca la línea $DP$ en el punto $Q$ . Muestra que el cuadrilátero $BMQN$ es un paralelogramo.

Considera el triángulo $ABC$ , con $\angle A= 90^o, \angle B = 30^o$ , y $D$ es el pie de la altura desde $A$ . Sea el punto $E \in (AD)$ tal que $DE = 3AE$ y $F$ el pie de la perpendicular desde $D$ a la línea $BE$ . a) Prueba que $AF \perp FC$ . b) Determina la medida del ángulo $AFB$